求證:正方體ABCD-A'B'C'D'中,對角線B'D和平面A'BC'互相垂直.

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設B'D'與A'C'的交點為E',設正方體的邊長為1。⑴則SIN∠E'BB'=B'E'/BE'=(√2/2)/√(1+1/2)=√3/3而COS∠BB'D=BB'/B'D=1/√3所以COS∠BB'D=SIN∠E'BB'，得∠BB'D+∠E'BB'=90°即B'D⊥BE'⑵由`BB'⊥底面得BB'⊥A'C'且A'C'⊥B'D',因此A'C'⊥平面BB'DD'故得B'D⊥A'C'所以從⑴、⑵可知B'D⊥平面A'BC'。

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證明這種問題，就是要找到這條直線和這個平面中的兩條相交直線垂直！（１）根據題意劃出圖形　　連接ＢＣ＇和ＡＢ＇　　因為Ａ＇Ｂ⊥ＡＢ＇；Ａ＇Ｂ⊥ＡＤ　　所以Ａ＇Ｂ⊥平面ＡＢ＇Ｄ　　Ｂ＇Ｄ屬于平面ＡＢ＇Ｄ；Ａ＇Ｂ屬于平面ＡＡ＇Ｂ　　所以Ｂ＇Ｄ⊥Ａ＇Ｂ　　　　　　　（１）　　　同理可以證明Ｂ＇Ｄ⊥ＢＣ＇　　（２）　　　Ａ＇Ｂ屬于平面Ａ＇ＢＢ＇ＢＣ＇；屬于平面Ａ＇ＢＢ＇　　（３）由（１）（２）（３）得：　　　Ｂ＇Ｄ⊥平面A'BC'

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用向量吧，只需將坐標寫出來，幾步就解決了，幾何相對較復雜一點。

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設B'D'與A'C'的交點為E',設正方體的邊長為1。⑴則SIN∠E'BB'=B'E'/BE'=(√2/2)/√(1+1/2)=√3/3而COS∠BB'D=BB'/B'D=1/√3所以COS∠BB'D=SIN∠E'BB'，得∠BB'D+∠E'BB'=90°即B'D⊥BE'⑵由`BB'⊥底面得BB'⊥A'C'且A'C'⊥B'D',因此A'C'⊥平面BB'DD'故得B'D⊥A'C'所以從⑴、⑵可知B'D⊥平面A'BC'。

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連接AB因為AD⊥面AA'B'B所以AD⊥A'B,又因為AB'⊥A'B(面是正方形)所以A'B⊥面AB'D所以A'B⊥B'D同理可得A'C'⊥B'D所以B'D⊥面A'BC'這道題主要是證明體對角線⊥面對角線

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其實現在的很多教材都進行了改革了,如果你用的是B版教材的話,我想我們可以用空間向量來解決這個問題.建立空間坐標系0-xyz以A點為原點,AB為x軸AD為y軸,AA'為z軸,設邊長為1容易得到向量B'D垂直與A'B BC'垂直與B'D

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設B'D'與A'C'的交點為E',設正方體的邊長為1。⑴則SIN∠E'BB'=B'E'/BE'=(√2/2)/√(1+1/2)=√3/3而COS∠BB'D=BB'/B'D=1/√3所以COS∠BB'D=SIN∠E'BB'，得∠BB'D+∠E'BB'=90°即B'D⊥BE'⑵由`BB'⊥底面得BB'⊥A'C'且A'C'⊥B'D',因此A'C'⊥平面BB'DD'故得B'D⊥A'C'所以從⑴、⑵可知B'D⊥平面A'BC'