已知一圓錐的母線和底面的夾角為2Q,且有一個半徑為1的球內切于該圓錐,求:圓錐的母線和底面圓半徑的和? 圓錐的全面積? 當Q滿足何關系時,圓錐的全面積最小?

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解法1。作圓錐的軸截面ABC，A為圓錐的頂點，BC為底面的直徑，O是底面的圓心，D為內切球在軸截面的圓的圓心。設圓錐的母線為l,底面圓半徑為R，則在直角三角形DOC中，R=DO*cotQ=1*cotQ=cotQ,在直角三角形AOC中，l=R/cos2Q=cotQ/cos2Q。所以，圓錐的母線和底面圓半徑的和為l+R=cotQ+cotQ/cos2Q=4[(cosQ)^4]/sin4Q。圓錐的全面積為S全=底面積+側面積=πR^2+(1/2)*l*2πR=πR^2+πlR=πR(R+l)=πcotQ*(cotQ+cotQ/cos2Q)=2π(cosQ)^4/[cos2Q(sinQ)^2]。因為S全=πR^2+πlR=π(R^2+lR)≥2π√(R^2*lR),當且僅當R^2=lR時，取等號,所以，當R=l時,S全的值最小。但是在直角三角形ACO中，總有ACOC,即lR,所以，圓錐全面積的最小值不存在。解法2。作圓錐的軸截面ABC，A為圓錐的頂點，BC為底面的直徑，O是底面的圓心，D為內切球在軸截面的圓的圓心。設圓錐的母線為l,底面圓半徑為R，則在直角三角形DOC中，R=DO*cotQ=1*cotQ=cotQ,在直角三角形AOC中,AO=R*tan2Q=cotQtan2Q。過點D作DE垂直于AC于E，則面積關系，可得AC*DE+DO*OC=OC*AO,即l*1+1*R=R*Rtan2Q。所以，l+R=tan2Q*R^2=tan2Q(cotQ)^2。所以，S全=πR^2+πlR=πR(R+l)=πcotQ*tan2Q(cotQ)^2=πtan2Q(cotQ)^3 。這個結果看上去好象與解法1中的不一樣，但其實質是一樣的。。