已知A(0,2),B(0,-2).若△ABC的AB邊上的高為5,求△ABC的垂心H的軌跡方程.

熱心網友

給你一個例子吧，因為做法得畫圖，這個地方實在沒有辦法畫圖 這里面有一個例題跟你的這個題目是類似的已知曲線求它的方程”是解析幾何的主要內容之一。解這類問題的思維出發點有兩個：一是設法找出約束動點變動的幾何條件；二是影響動點變動的因素。如影響動點變動的因素可能是一條直線的斜率或是某個角的變動等等。“求點的軌跡”和“求點的軌跡方程”是有一定區別的。“軌跡”是點的集合，是幾何圖形，要指出他的形狀、形狀、大小等特征，“軌跡方程”是坐標關系式，是方程，要指出它變量的取值范圍。求軌跡方程的具體方法大致有下列五種：一 直接法：如能找到約束動點變動的幾何條件，即動點變動所服從的幾何規律，就可以利用條件，將坐標代入，得到軌跡的代數方程，具體分五個步驟：建立適當的坐標系，并設動點P的坐標為（x,y）；“適當”的坐標系可以使曲線的方程易于建立，運算過程比較簡單，所得的方程也簡單。所謂“適當”往往以線段中點為原點，以互相垂直的直線為坐標軸等。 根據軌跡上的點所要適合的條件列出軌跡上的點的集合，即 C={P│f(P)},f(P)是對點P運動的限制條件。利用解析幾何中一些基本公式，如定比分點坐標公式，點到直線距離公式，斜率公式等，代換等式中的幾何條件，即“坐標代入”，從而求得方程f(x,y)=0; 把所得的方程化簡； 證明得到的方程就是所求的軌跡方程，即證明曲線上的任意一點的坐標都適合方程，坐標適合方程的點都在曲線上，由于動點P（x，y）是曲線上任意一點，所以曲線方程的定義“曲線上的任意一點的坐標都適合方程”自然滿足。又如果化簡方程的過程中都是同解變形，則“坐標適合方程的點都在曲線上”也滿足，就勿需證明了。也就是說，如果化簡方程不是對方程的同解變形，按定義必須把不是軌跡上的點的坐標去掉，同時要把漏掉的點的坐標補上，這樣所得的方程才是所求的軌跡方程。 例：在△ABC中，邊BC固定，│BC│=6，BC邊上的高的長為3，求垂心H的軌跡方程。 解法1：以B為原點，直線BC為x軸， 建立如圖所示的坐標系，設H（x，y） 有平面幾何知：Rt△ABC∽Rt△ACD, 它們的對應邊成比例，得H∈? H│,B,C? ? D(x,0),A(x,3)代入得,x? 6,化簡得，y=x2-2x或y=-x2+2x當x=6時，△ABC是以C為直角頂點的直角三角形，其垂心即為C，而C的坐標為（6，0），也滿足方程y=x2-2x或y=-x2+2x解法2：以B為原點，直線BC為x軸，建立如圖所示的坐標系，設H(x,y)，由平面幾何知，AC⊥BE，即H∈{H│AC⊥BE}。∵│BC│=6 ∴C（6,0） ∵D（X,0）,A(x,3)由AC⊥BE得kAC。kBD=-1? =-1,x? 0,x? 6。化簡得y=-x2+2x當x=6時，△ABC是以C為直角頂點的直角三角形，其垂心為C，而C的坐標為（6，0），也滿足y=-x2+2x當x=0時，△ABC是以B為直角頂點的直角三角形，幾垂心為B，而B的坐標為（0，0），也滿足y=x2-2x當頂點A在x軸的下方時，同法可求得H的方程，為y=x2-2x所以所求軌跡方程為y=x2-2x或y=-x2+2x說明：解法1與解法2所用的約束動點的幾何條件不同，解題過程的繁簡不同，解法2較簡便，由此可見，找出約束動點的條件是什么是解題關鍵之一。二 相關點法當引起動點P變動的原因是另一個點M在變動時，可用此法，其中點M稱為“動點P的相關點”，使用這一方法求軌跡方程，步驟有三先求出相關點M的軌跡方程。 找出相關點M與動點P之間的坐標關系式。 消去相關點M的坐標。 例 拋物線的y軸為準線，且過點M（a,b） (a≠0)，證明：不論M點的位置如何變化，拋物線頂點的軌跡的離心率是定值。解：設拋物線焦點為(x0,y0)，依定義得：(x0-a)2+(y0-2=a2又設拋物線頂點為(x,y),則x0=2x,y0=y,∴(2x-a)2+(y-2=a2 ∴頂點軌跡為橢圓=1,離心率e=為定值。三 代定系數法如果曲線的形狀已經知道，并且曲線方程的形式也已經知道，只要利用題設的條件確定方程中的系數就可以了，這種求曲線方程的方法稱為“代定系數法”。用好這一方法的關鍵是題設條件的合理利用，不同的使用方法繁簡差異很大。例：雙曲線的中心在坐標原點，過雙曲線右焦點且斜率為 的直線與雙曲線交于A，B兩點，若OA⊥OB，∣AB∣=4，求此方程。解：設所求雙曲線的方程為 =1，直線AB的方程為 y=(x-c) ，這里c2=a2+b2 代入雙曲線方程并整理得，(5b2-3a2)x2+6a2cx-a2(3c2+5b2)=0 ①5b2-3a2≠0，否則直線AB不會與雙曲線有兩個交點，由韋達定理得 x1+x2= ,x1x2= ②設A(x1,y1), B(x2,y2) 于是有y1= (x1-c), y2= (x2-c) 由OA⊥OB得x1x2+y1y2=0 即有x1x2+(x1-c)? (x2-c)=0 也即有8x1x2 _3c(x1+x2)+3c2=0 ③同樣由│AB│=4，得(x1+x2)2-4x1x2 =10 ④把②代入③得，-+3c2=0 解方程得 c2=4a2,c2=a2（舍去）,c=2a 把c=2a代入②得x1+x2=-a, x1x2=-a2 把上式代入④得 a2=1, c2=4,b2=3 （Δ0顯然成立）所以雙曲線的方程為x2-=1 四 參數法如影響動點變動的因素是某直線斜率，某個角，時間等，或者不宜直接建立x與y間的關系，這時求軌跡方程可用“參數法”，如影響動點變動的因素是另一條直線的斜率k，這時可“借用”這條直線的斜率溝通點的橫、縱坐標間的關系。這種方法往往經過“設參”、“用參”、“消參”等幾個步驟。例 過點M（-3，-2）作直線l交橢圓+y2=1 于AB兩點，求AB的中點P的軌跡方程。解：設l=y=k(x=3)-2,即y=kx=(3k-2)代入橢圓方程，整理得(2k2+1)x2+4k(3k-2)x+2(3k-2)2-2=0 ①設A (x1,y1) B (x2,y2) P(x,y) 則x1+x2=- x1x2= ②x==-即2(x+3)k2+x=4k? k=? +x= 整理得x2+3y2+3x+4y=0 由方程組 x2+3y2+3x+4y=0 x2+2y2=2 解得 x= 所以所求軌跡方程是x2+3y2+3x+4y=0,x? [,]五 定義法當約束動點P變動的條件滿足已知曲線的定義時，就不必再用“直接法”來求方程，而是直接利用已知曲線方程寫出該曲線的方程。這種求曲線方程的方法稱為“定義法”。例 如圖所示，D（1，0）是圓C：(x+1)2+y2=25 內一點。點A在圓上。求線段DA的中垂線與線段CA的交點P的軌跡方程。解：由已知，圓C在圓心C（-1，0），半徑為5，連結PD，因為P在DA的垂直平分線上，所以│PD│=│PA│∵│CP│+│PD│=│CP│+│PA│=│CA│=5∴點P在以C（-1，0），D（1，0）為焦點，長軸長為5的橢圓上，即c=1,a=, b2 =,該橢圓方程為=1 。

熱心網友

由已知可得C在X=5或X=-5上,當C在X=5時,設C(5,a),可得直線AC的斜率為(a-2)/5,從而得到AC邊上的高為:y=5/(2-a)x-2,AB邊上的高為 y=a,因此垂心為 ( (4-a的平方)/5,a)即得軌跡為: y的平方=4-5x同理:當C在X=-5時,得: y平方=5x-4