求證a立方加b立方加c立方大于等于3abc

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證明：（用比較法。）已知a0,b0,c0。a^3+b^3+c^3-3abc=(a^3+3a^2*b+3ab^2+b^3)+c^3-3a^2*b-3ab^2-3abc=(a+b)^3+c^3-3ab(a+b+c)=(a+b+c)[(a+b)^2-(a+b)c+c^2]-3ab(a+b+c)=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)又因為a^2+b^2+c^2=2ab;b^2+c^2=2bc;c^2+a^2=2ca。(a=b=c時等號成立）兩邊同時相加，得到：2(a^2+b^2+c^2)=2(ab+bc+ca)所以：a^2+b^2+c^2=ab+bc+ca。故得到：a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca=0又因為：a+b+c0。兩邊分別相乘得到:(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)=0于是對一切正實數(shù)a、b、c都有a^3+b^3+c^3=3abc成立。當(dāng)僅當(dāng)a=b=c時等號成立。【這可都是教科書上的定理及其證明呀！讀書難道比上網(wǎng)困難的很多么？】。