△ABC所在平面外一點V,VA=a,VB=b,VC=c,∠AVB=α,∠BVC=β,∠CVA=γ,若a＾2+b＾2+c＾2=ab+bc+ca,且1+cosγ=cosα+cosβ,求證：平面VAC⊥平面ABC.

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由條件：a＾2+b＾2+c＾2=ab+bc+ca，可以得到(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2=0,即a=b=c,在三個等腰三角形VAB,VAC,VBC中應(yīng)用余玄定理，可以得到cosα、cosβ、cosγ的表達式，代入條件1+cosγ=cosα+cosβ中得到以下結(jié)果：AB^2+BC^2=CA^2.......(1)因為VA=VB=VC=a，所以A、B、C三點在以V為中心半徑等于a的球體上，而A、B、C三點可以確定一個平面，該平面與球的截面是一個圓，設(shè)該圓的圓心為O'，則VO'垂直該圓截面。再由（1）的結(jié)果，可知CA就是該圓截面的直徑，那么CA的中點就是圓心，也就是O'為CA的中點。由于O'是球心V在圓截面的投影，所以VO'垂直平面。那么過VO'的平面VAC也就垂直于平面ABC。