一個四面體的所有棱長都為根號2,四個頂點在同一球面上,則此球的表面積為___?

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如圖，過P作PO'⊥底面ABC于O'，并延長交球體于Q，則可知PQ為球體直徑。連結AO'，在等邊△ABC中，可知O'為其外心，故可求的AO'=√6/3,在Rt△PAO'中，PO'=√(PA^2-AO'^2)=2√3/3,連結AQ,因為PQ為球體直徑，所以PA⊥AQ,在Rt△PAQ中，AO'⊥PQ,根據射影定理有PQ=PA^2/PO'=√3,故球體半徑r=PQ/2=√3/2,故表面積S=4πr^2=4π(√3/2)^2=3π.

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