已知△ABC中三內角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,且a+c=b*√2(1)求tan(A/2)*tan(C/2)(2)求證:cotA,cot(B/2),cotC成等差數列.

熱心網友

正弦定理：a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R---a=2RsinA;b=2RsinB;c=2RsinC。和差化積：sina+sinb=2sin[(a+b)/2]cos[(a-b)/2]1）a+b=√2b---sinA+sinC=√2sinB=√2sin(A+C)---2sin[(A+C)/2]cos[(A-C)/2]=2√2sin[(A+C)/2]cos[(A+C)/2]---cos[(A-C)/2]=√2cos[(A+C)/2]---cos(A/2)cos(C/2)+sin(A/2)sin(C/2)=√2[cos(A/2)cos(C/2)-sin(A/2)sin(C/2)]---(√2+1)sin(A/2)sin(C/2)=(√2-1)cos(A/2)cos(C/2)---tan(A/2)tan(C/2)=(√2-1)/(√2+1)=(√2-1)^2=3-2√2。2）a+c=√2*b---(a+c)^2=2b^2---a^2+c^2+2ac=2b^2。。。。。。(1)余弦定理：a^2+c^2-2accosB=b^2。。。。。。(2)(1)-(2):2ac(1+cosB)=b^2---1+cosC=b^2/(2ac)。。。。。。(3)cot(B/2)=(1+cosB)/sinB=[b^2/(2ac)]/(b/2R)=bR/(ac)。。。。。。(4)cotA+cotC=cosA/sinA+cosC/sinC=(cosAsinC+sinAcosC)/(sinAsinC)=sin(A+C)/(sinAsinC)=sinB/(sinAsinC)=(2R)^2*sinB/(2RsinA*2RsinC)=2Rb/(ac)=2*Rb/(ac),由（4）得=2cot(B/2)---cotA;cot(B/2);cotC成等差數列。