在梯形ABCD中,DC//AB,AC⊥BD,垂足為F.若梯形的高為4厘米,AC=5厘米,則梯形的面積為多少?初2上學期梯形問題

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解：不能作圖，為便于討論，作了以下設定(當然不失一般性)： 梯形ABCD中(字母的順序為順時針)，設其兩底邊的大小關系是 AB＜DC, 底角 D 為銳角(是為了保證輔助線中的 E 點在線段 DC 內部)。解的過程如下(長度都省略了單位)：1、作輔助線： 過 A 作 AE⊥DC, 垂足為 E，可知梯形高為AE=4，則 CE=3 (因為 AC=5)；過 A 作 AH//BD, AH 交 CD 的延長線于 H；2、求面積： 顯然，由“已知”和“輔助線”可知 △CAH 為直角三角形(角CAH為直角)， 且 直角△AEH 相似于 直角△CEA,于是 AE/EH = CE/EA, 而 EH=ED+DH, DH=AB。設 DH=AB=x, ED=y, 則有 4/(x+y)=3/4, 可求得 EH = x+y = 16/3，所以由梯形面積公式有 S=(1/2)(AB+DC)*AE=(1/2)CH*AE=(1/2)(CE+ED+DH)*AE=(1/2)(3+y+x)*4=(1/2)(3 + 16/3)*4=50/3(平方厘米）。即梯形面積為 50/3 平方厘米。解畢。 。

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50/3

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50/3

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通過高＝４可以得出其為直角梯形根據射影定理ＢＣ＊２＝ＢＦ*ＢＤ又因為ＢＦ＝ＡＢ*ＢＣ／ＡＣ＝１２／５所以ＢＤ＝１６*５／１２＝２０／３所以面積＝兩個三角形面積和＝（５*２０／３）／２＝５０／３