1.用角ＡＢＣ的正弦，余弦表示．（１）Sin(A+B+C) (2)COS(A+B+C)2.用角ＡＢＣ的正切表示tan(A+B+C)3.證明（１）cos3a=4cos'3a-3cosa('3為指數）（２）tan3a=(3tana-tan'3a)/(1-3tan'2a)('3,'2為指數)

熱心網友

真多啊1。用角ABC的正弦，余弦表示．(1)Sin(A+B+C) =sin[A+(B+C)]=sinAcos(B+C)+cosA*sin(B+C)=sinA(cosBcosC-sinBsinC)+cosA*(sinBcosC+cosBsinC)=sinAcosBcosC-sinAsinBsinC+cosAsinBcosC+cosAcosBsinC(2)COS(A+B+C)=cos[A+(B+C)]=cosAcos(B+C)-sinAsin(B+C)=cosA(cosBcosC-sinBsinC)-sinA(sinBcosC+cosBsinC)=cosAcosBcosC-cosAsinBsinC-sinAsinBcosC-sinAcosBsinC2。用角ＡＢＣ的正切表示tg(A+B+C)tg(A+B+C)=tg[A+(B+C)]=[tgA+tg(B+C)]/[1-tgA*tg(B+C)]=tgA+[(tgB+tgC)/(1-tgBtgC)]/[1-tgA*(tgB+tgC)/(1-tgBtgC)]=[tgA(1-tgBtgC)+tgB+tgC]/[1-tgBtgC-tgA*(tgB+tgC)]=(tgA+tgB+tgC-tgAtgBtgC)/(1-tgAtgB-tgBtgC-tgAtgC)3。證明(1)cos3a=4cos'3a-3cosa('3為指數）cos3a=cos(2a+a)=cos2a*cosa-sin2asina=(2cosa^2-1)cosa-2sinacosasina=(2cosa^2-1)cosa-2(sina^2)cosa=(2cosa^2-1)cosa-2(1-cosa^2)cosa=4cosa^3-3cosa實際上可以直接利用第1小題的證明cos3a=cos(a+a+a)=cosa*cosa*cosa-cosa*sina*sina-sinasinacosa-sinacosasina=4cosa^3-3cosa 注意：sina^2=1-cosa^2(2)tan3a=(3tana-tan'3a)/(1-3tan'2a)('3,'2為指數)tg3a=tg(a+a+a) 直接利用第2題的公式=(tga+tga+tga-tga*tga*tga)/(1-tga*tga-tga*tga-tga*tga)=(3tga-tga^3)/(1-3tga^2)。

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1)sin(A+B+C)=sin[(A+B)+C]=sin(A+B)cosC+cos(A+B)sinC=(sinAcosB+cosAsinB)cosC+(cosAcosB-sinAsinC)sinC=sinAcosBcosC+cosAsinBcosC+cosAcosBsinC-sinAsinBsinC,同理：cos(A+B+C)=cosAcosBcosC-sinAsinBcosC-sinAcosBsinC-cosAsinBsinC2）tan(A+B+C)=sin(A+B+C)/cos(A+B+C)左邊上面的二式代入，然后分子、分母同時除以cosAcosBcosC，就得到tan(A+B+C)=(tanA+tanB+tanC+tanAtanBtanC)/(1-tanA-tanB-tanC)當然，也可以像前面的兩個式子一樣，使用正切的和角公式由A+B、C到A、B、C的進行。3)可以在上述公式里令A=B=C=a得到。也可以使用二倍角公式及和角公式：cos3a=cos(2a+a)=cos2acosa-sin2asina=[(cosa)^2-(sina)^2]cosa-2sinacosasina=(cona)^3-3(sina)^2*cosa=(cosa)^3-3[1-(cosa)^2]cosa=3(cosa)^3-3cosatan3a=tan(2a+a)=(tan2a+tana)/(1-tan2atana)={2tana/[1+(tana)^2]+tanA}/{1-。。。。。。*tana}分子、分母同時乘以1+(tana)^2得到：=[3tana-(tana)^3]/[1-3(tana)^3]。

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只要應用公式一步一步來就很簡單了Sin(A+B+C)=Sin(A+B)CosC+Cos(A+B)SinC =(SinACosB+CosASinB)CosC+(CosACosB-SinASinB)SinC =。。。。。。。(再分別乘出來就可以了)Cos(A+B+C)=Cos(A+B)CosC-Sin(A+B)SinC =(CosACosB-SinASinB)CosC-(SinACosB+CosASinB)SinC =。。。。。。。 tanA+tanB —————— +tanC tan(A+B)+tanC 1-tanAtanBtan(A+B+C)=———————— = —————————— 1-tan(A+B)tanC tanA+tanB 1- ——————tanC 1-tanAtanB。