設a<b<c求證a^2 b+b^2 c+c^2 a<a b^2+b c^2+c a^2

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方法1:用因式分解:(a^2b+b^2c+c^2a)-(ab^2+bc^2+ca^2)=ab(a-b)+bc(b-c)+ac(c-a+b-b)==a(b-c)(a-b)+c(b-a)(b-c)=(a-c)(b-c)(a-b)c,所以f(a)是開口向下的二次函數又因為對稱軸為a=(c^2-b^2)/2(c-b)=(c+b)/2,而(b+c)/2-b=(c-b)/20,說明b在對稱軸的左邊,所以f(a)最大值趨近于f(b),而f(b)=(b-c)b^2-b(b^2-c^2)+bc(b-c)=(b-c)[b^2-b(b+c)+bc]=(b-c)(b^2-b^2-bc+bc)=0,所以f(a)<0,即a^2b+b^c+c^a