1+1/2的平方+1/3的平方+1/4的平方+......+1/n的平方(n∈正實數)與2的大小關系

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1+1/2^2+1/3^2+1/4^2+......+1/n^2(n∈正實數)與2的大小關系 1+1/2^2+1/3^2+1/4^2+......+1/n^2＜1+ 1/(2*1) + 1/(3*2) + 1/(4*3) +... + 1/n(n-1)＝1+ 1 - 1/2 +1/2 - 1/3 +1/3 - 1/4 +..+ 1/(n-1) - 1/n＝2 - 1/n ＜2所以1+1/2^2+1/3^2+1/4^2+......+1/n^2　＜2

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∵1/n^2<1/[n（n-1)]=1/(n-1)-1/n∴1/n^2 < 1/(n-1)-1/n1/(n-1)^2 < 1/(n-2)-1/(n-1)1/(n-2)^2 < 1/(n-3)-1/(n-2)1/(n-3)^2 < 1/(n-4)-1/(n-3)…… …… ……1/4^2 < 1/3 - 1/41/3^2 < 1/2 - 1/31/2^2 < 1/1 - 1/21 = 1上述各式相加,得1+1/2^2+1/3^2+1/4^2+......+1/n^2 < 2-1/n < 2所以1+1/2的平方+1/3的平方+1/4的平方+......+1/n的平方(n∈正實數)小于2.