已知直線ＡＢ經過Ｘ軸，與拋物線y=ax2交于Ｂ、Ｃ兩點．Ａ點坐標（－３，０），Ｂ點坐標（－１，１）拋物線上是否存在點Ｄ．使三角形ＡＣＤ的面積與三角形ＯＢＣ的面積相等．若存在，求出點Ｄ坐標．若不存在，說明理由．

熱心網友

解: 直線AB方程為y=kx+b。 將A(-3,0)。B(-1,1)帶入解得:k=1/2 b=3/2直線AB方程為y=(1/2)x+3/2 將B(-1,1)帶入方程y=ax＾2。得1=(-1)＾2×a a=1 ∴拋物線y=x＾2解y=(1/2)x+3/2。。。。。(1)和y=x＾2。。。(2)得c點坐標為 :(Xc=2/3,Yc= 9/4) △AOC面積S1=(1/2)×│AO│×│Yc│=(1/2)×3×(9/4)=27/8△AOB面積S2=(1/2)×│AO│×│Yb│=(1/2)×3×(1)=3/2=12/8△OBC面積S3=△AOC面積-△AOB面積=S1-S2=27/8-12/8=15/8AC=√［(Yc)＾2+(Xc-Xa)＾2］=√［(9/4)＾2+(3/2+3)＾2］=(9√5)/4設三角形DAC面積等于三角形OBC面積則(1/2)AC×d=15/8(d為D點到AC的距離)d=(√5)/3。 設D點坐標為Xd,Yd 。 ∵直線AC方程1/2X-Y+3/2=0 (A=1/2,B=-1, C=3/2) 且d=│(AXd+BYd+C)│/√(A＾2+B＾2)∴(√5)/3=│［(1/2)Xd-Yd+3/2］│/√［(1/2)＾2+(-1)＾2］ │Xd-2Yd+3/2│=5/3 Xd-2Yd+3=±5/3 3Xd-6Yd+9=±5∵D點在Y=x＾2上 即Yd=Xd＾2 ∴整理得:-6Xd＾2+3Xd+14=0。。。(1) -6Xd＾2+3Xd+4=0。。。。(2)解(1)(2)得:Xd1=(3-√345)/12 Yd1=(59-√345)/24 Xd2=(3+√345)/12 Yd2=(59+√345)/24 Xd3=(3-√105)/12 Yd3=(19-√105)/24 Xd4=(3+√105)/12 Yd3=(19+√105)/24 。

熱心網友

四個點滿足題義本想評論的，但誤操作成回答，只好簡略的答一下了由B(-1,1)得拋物線的解析式為：y=x^2由A、B坐標得直線AB的解析式為：y=x/2+3/2所以有C(3/2,9/4)|BC|/|AC|=5/9O到AC的距離|O-AC|=(3√5)/5 因為S△ACD=S△OBC故D到AC的距離|D-AC|=|O-AC||BC|/|AC|=(3√5)/9得點D在y=x/2+2/3或y=x/2+7/3上解得D點的坐標為[1/4-(√105)/12,19/24-(√105)/24][1/4+(√105)/12,19/24+(√105)/24][1/4-(√345)/12,59/24-(√345)/24][1/4+(√345)/12,59/24+(√345)/24]