如圖，正方形ABCD被兩條與邊平行的線段EF、GH分割成四個小矩形，P是EF與GH的交點，若矩形PFCH的面積恰好是矩形AGPE面積的2倍，試確定∠HAF的大小，并證明。

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我解其中一個特例。是當 PG=PE,PF=PH時的特例。設正方形ABCD邊長為1,設 PG=PE=x,依題意:2xx=(1-x)(1-x),化簡后得:xx+2x-1=0解之得一個根:x=√2-1 (另一根不合題意,舍去。)即 PG=PE=√2-1,BH=√2-1,于是有:tg∠HAB=√2-1,可求出:∠HAB=45°/2∠HAF=90°-∠HAB-∠FAD=45°在這里,我聲明,這只是一個特例,至于當PG≠PE,PF≠PH時,情況會怎樣呢?還需進一步研究。10:35 10 November 2005經過研究，當PG≠PE，PF≠PH時，∠HAF也等于45°。(由于題目沒有附圖,為敘述方便起見,對圖形作如下規定:AB邊在下方,G點在AD邊上,E點在AB邊上。)證明如下:先推導一個簡單的關系式。設 tgα=x (α＜45°)tg(45°-α)=(tg45°-tgα)/(1+tg45°×tgα)=(1-tgα)/(1+tgα)=(1-x)/(1+x),用反函數表示,有:arctgx+arctg[(1-x)/(1+x)]=45°。。。。。。(關系式1)回到正題,設正方形邊長為1， PE=x,PG=y。依題意,得:2xy=(1-x)(1-y)2xy=1-x-y+xyxy+y=1-xy(x+1)=1-xy=(1-x)/(1+x)即PE=x,也就是BH=x,tg∠HAB=xPG=y=(1-x)/(1+x),也就是DF=(1-x)/(1+x),tg∠FAD=(1-x)/(1+x)根據關系式1,得:∠HAB+∠FAD=45°∠HAF=90°-∠HAB-∠FAD=45°。