已知f(x)=x^3+bx^2+cx+d在（-∞，0）上是增函數，在[0，2]上是減函數。方程f(x)=0有三個根，分別為α,2,β（1） 求c（2） 求證f(1)≥2（3） 求|α-β|的取值范圍

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（1）f′（x）=3x2+2bx+c，∵f（x）在（－∞，0）上是增函數，在［0，2］上是減函數．∴當x=0時，f（x）取到極大值．∴f′（0）=0，∴c=0． （2）∵f（2）=0，∴d=－4（b+2），f′（x）=3x2+2bx=0的兩根分別為x1=0，x2=－2b/3， ∵函數f（x）在［0，2］上是減函數．∴x2=－2b/3≥2，∴b≤－3．∴f（1）=b+d+1=b－4（b+2）+1=－7－3b≥2． （3）∵α，2，β是方程f（x）=0的三個根，∴可設f（x）=（x－α）（x－2）（x－β），∴f（x）=x^3－（2+α+β）x^2+（2α+2β+αβ）x－2αβ∴方程組b=-2-α-βd=-2αβ∴方程組α+β=-b-2αβ=-(1/2)d∴|α－β|=√[(α+β)^2-4αβ]= √[(b+2)^2+2d]=√[(b+2)^2-8(b+2)]= √[(b-2)^2-16]∵b≤－3．∴|α－β|≥3。