已知函數(shù)f(x)=lg(ax2+2X+1),(1)若函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,求實(shí)數(shù)a的取值范圍,并求此時(shí)函數(shù)的值域；（2）若函數(shù)f(x)的值域?yàn)镽,求實(shí)數(shù)a的取值范圍,并求此時(shí)函數(shù)的定義域。

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解：（1）由題意知“ax^2 + 2x + 1＞0 在 x∈R 上恒成立”，故a＞0 且判別式 △＝4-4a＜0, 解得 a＞1；即 a 的取值范圍是 a＞1。當(dāng) a＞1 時(shí)，函數(shù) y＝ax^2 + 2x + 1 的最小值為-(b^2 - 4ac)/(4a)＝-(4-4a)/(4a)＝(a-1)/a＝1- 1/a(當(dāng) x＝-1/a 時(shí)),所以 函數(shù)f(x)＝lg(ax^2 + 2x + 1) 的值域?yàn)?[lg(a-1)-lga ，+∞）。（2）要使“函數(shù)f(x)的值域?yàn)?R”，那么二次函數(shù) y＝ax^2 + 2x + 1 的值域應(yīng)該包含（0，+∞），也就是說，“必須 a＞0 且 方程 ax^2 + 2x + 1＝0 有根”，所以 a＞0 且判別式 △＝4-4a≥0, 解得 0＜a≤1；不難知道，若 a＝0，一次函數(shù) y＝2x + 1 的值域?yàn)?-∞,+∞)包含(0，+∞），所以 a＝0 也符合題意！因此實(shí)數(shù) a 的取值范圍應(yīng)該是 0≤a≤1。若 a＝0 ，解不等式 2x + 1＞0，得此時(shí) 函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?x＞-1/2；若 0＜a＜1 ，解二次不等式 ax^2 + 2x + 1＞0，可得此時(shí)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閤＜[-1-根號(hào)(1-a)]/a 或 x＞[-1+根號(hào)(1-a)]/a；若 a＝1，由不等式 x^2 + 2x + 1＞0 可得函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?x≠-1。 。

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ax2+2x+10,要使x在R上,則4-4a≥0

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(1)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,得出ax2+2X+1恒0,所以a0,4-4a1,函數(shù)的值域?yàn)镽;(2)函數(shù)f(x)的值域?yàn)镽,令ax2+2X+1=u,由定義得ax2+2X+10,即u可取遍所有正數(shù)，得a0 4-4a=0 0

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解：（1）由題意知“ax^2 + 2x + 1＞0 在 x∈R 上恒成立”，故a＞0 且判別式 △＝4-4a＜0, 解得 a＞1；即 a 的取值范圍是 a＞1。當(dāng) a＞1 時(shí)，函數(shù) y＝ax^2 + 2x + 1 的最小值為-(b^2 - 4ac)/(4a)＝-(4-4a)/(4a)＝(a-1)/a＝1- 1/a(當(dāng) x＝-1/a 時(shí)),所以 函數(shù)f(x)＝lg(ax^2 + 2x + 1) 的值域?yàn)?[lg(a-1)-lga ，+∞）。（2）要使“函數(shù)f(x)的值域?yàn)?R”，那么二次函數(shù) y＝ax^2 + 2x + 1 的值域應(yīng)該包含（0，+∞），也就是說，“必須 a＞0 且 方程 ax^2 + 2x + 1＝0 有根”，所以 a＞0 且判別式 △＝4-4a≥0, 解得 0＜a≤1；不難知道，若 a＝0，一次函數(shù) y＝2x + 1 的值域?yàn)?-∞,+∞)包含(0，+∞），所以 a＝0 也符合題意！因此實(shí)數(shù) a 的取值范圍應(yīng)該是 0≤a≤1。若 a＝0 ，解不等式 2x + 1＞0，得此時(shí) 函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?x＞-1/2；若 0＜a＜1 ，解二次不等式 ax^2 + 2x + 1＞0，可得此時(shí)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閤＜[-1-根號(hào)(1-a)]/a 或 x＞[-1+根號(hào)(1-a)]/a；若 a＝1，由不等式 x^2 + 2x + 1＞0 可得函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?x≠-1。 。

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已知函數(shù)f(x)=lg(ax2+2X+1),(1)若函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,求實(shí)數(shù)a的取值范圍,并求此時(shí)函數(shù)的值域； 解：若定義域是全體實(shí)數(shù)，則ax2+2X+10, 將左側(cè)配方，得 （1/a)*(x+a/4)^2+(15a/16)0 顯然 a不等于 0。 若a0,（1/a)*(x+a/4)^2+(15a/16)0就成立。 若a0就不成立。