求證：在直徑為d的圓的內接矩形中，面積最大的是正方形，這個正方形的面積等于二分之一d平方。

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設內接矩形的兩邊長為x,y，由于是圓的內接矩形，所以x^2+y^2=d^2得y=根號(d^2-x^2)所以矩形面積為 x*根號(d^2-x^2)＝根號（x^2*d^2-x^4）令t=x^2則 根號（x^2*d^2-x^4）＝根號（t*d^2-t^2）由二次函數性質知道當t=d^2/2時，根號（t*d^2-t^2）取得最大值，即x=(根號2*d)/2時，矩形的面積最大，此時y=(根號2*d)/2.因此得到面積最大的矩形為正方形，面積為x*y=((根號2*d)/2)^2=d^2/2

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d^2=a^+b^2S=ab=a(d^2-a^2)^0.5S^2=a^2(d^2-a^2)a^4-d^2*a^2+S^2=0d^4-4S^2=0d^4=4S^2d^2=2Sa^2+b^2=2ab當a=b時,a^2+b^2=2abS最大d^2=2SS=d^2/2

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求證：在直徑為d的圓的內接矩形中，面積最大的是正方形，這個正方形的面積等于二分之一d平方。設矩形的長為x ,寬為y ,則 x^2 + y^2 = d^2所以 S=xy ≤(x^2 +y^2)/2 = (d^2)/2當且僅當x=y時取等號。即矩形為正方形時，面積S最大為(d^2)/2