已知二次函數f(x)=x^2＋bx＋c(b，c,為Ｒ)不論α，β取任何實數都有(2＋cosβ)<=0,f(sinα)>=0成立１．求證：b＋c＝-1２.求c的最小值３.若函數f(sinα)的最大值為8,求b,c的值

熱心網友

已知二次函數f(x)=x^2＋bx＋c(b，c,為Ｒ)不論α，β取任何實數都有 f(2＋cosβ)=0成立解:(1).因為不論α，β取任何實數都有f(2＋cosβ)=0成立所以cosβ=-1,sinα=1時也成立,即f(2＋cosβ)=f(1)=0因此f(1)=0=1+b+c所以b＋c＝-1(2).因為不論α，β取任何實數都有f(2＋cosβ)=0成立所以當1=0,它的圖象如下所以f(3)=3c的最小值為3.(3)顯然二次函數f(x)=x^2＋bx＋c在[-1,1]上是減函數,所以f(-1)=1-b+c=8,又b＋c＝-1解得b=-4,c=3.

熱心網友

cosβ<-2 不對吧

熱心網友

有點困難,這道題哪來的啊?

熱心網友

∵2＋cosβ∈[1,3]且sinα∈[-1,1]…………①∵1∈[1,3]且1∈[-1,1]∵1∈[1,3]　 ∴f(1)=x^2＋bx＋c=1+b+c≤0∵1∈[-1,1] ∴f(1)=x^2＋bx＋c=1+b+c≥0∵1+b+c≤0且1+b+c≥0∴f(1)=1+b+c=0…………②∴b+c=-1　(得證) 由①得，f(x)=x^2+bx+c在[1,3]區間f(x)≤0，在[-1,1]區間f(x)≥0f(-1)=x^2+bx+c=1-b+c≥0 以b+c=-1代入，得c≥-1/2f(3)=x^2+bx+c=9+3b+c≤0 以b+c=-1代入，得c≥3綜合，則c≥3∵f(x)=x^2+bx+c在[-1,1]區間的最大值為8且由②得f(1)=0則f(x)=x^2+bx+c在[-1,1]區間上為減函數，則取得最大值時，x=-1∴1-b+c=8 由第1小題可知b+c=-1，解得b=-4，c=3。