函數f:R→R,f((x-y)/(x+y))=(f(x)-f(y))/(f(x)+f(y)),求f(x)=?

熱心網友

設f可導，（或在某1點可導）1。顯然x=y，得f（0）=0， y =0，得f（1）=1。2。設y=ux==》f((1-u)/(1+u))=(f(x)-f(ux))/(f(x)+f(ux))==2f(x)/(f(x)+f(ux))-1,兩邊對x求導，得0=2(f'(x)f(ux)-uf(x)f'(ux))/[(f(x)+f(ux))^2]====f'(x)f(ux)-uf(x)f'(ux))=0,u=y/x==xf'(x)/f(x)=yf'(y)f'(y)=常數C3。解微分方程：xf'(x)/f(x)=C得：f(x)=Dx^C，代入f（1）=1==》D=1。f:R→R==》C為自然數。f（0）=0，C0。x=1==f((1-y)/(1+y))=(1-f(y))/(1+f(y)),==((1-y)/(1+y))^C=(1-(y)^C)/(1+(y)^C), (1)(1)兩邊對y求導,再y=0==》C=1==》f(x)=x4。若無連續，可導等條件。可用Zorn定理構造許多符合f((x-y)/(x+y))=(f(x)-f(y))/(f(x)+f(y))的函數,但這些函數表示不出來，只能證明存在。。

熱心網友

f(x)=0這個問題可以采取特殊值法取Y=O 就可以得到F（X）=[F（0）+F（0）F（1）]/[1-f（1）]取X=Y就可以得到F（0）=0于是函數值恒等于零