任意三角形ABC，內切圓O，切BC邊點D，連接DO并延長交圓上一點為E，連接AE并延長，交BC于F.求證:BD=CF

熱心網友

可不可以不用計算的方法來證明？

熱心網友

畫圖可知點Ｄ點Ｆ重合　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　所以CD=BF

熱心網友

本題是一道競賽題，有一定難度，解法如下：設圓O與AB,AC，分別相切于G，H，并設AH=AG=x,BD=BG=y,CD=CH=z,a+b+c=2P,則z+y=a,z+x=b,x+y=c,解得x=p-a,y=p-b,z=p-c,即DC=p-c。作高線AK，設AK=h,則h2=c2-BK2=b2-CK2于是c2-b2=(BK+cK)(BK-CK)=a2-2aCK,CK=(a2+b2-c2)/2a,設△ABC的內切圓半徑為r，則由S△ABC=rp=1/2ah得h=2rp/a因為AK‖ED，所以FD/2r=FK/h-2r代入，化簡得FD=aFK/p-a,又FK=p-c-CK代入，化簡得FK=(c-b)(p-a)/a所以BF=p-b-FD=...=p-c,所以DC=BF,DC+FD=BF+FD即BD=CF。