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X^2+Y^2或=2XY,X^2+Z^2或=2YZ,Y^2+Z^2或=2ZY三式相加得:2X^2+2Y^2+2Z^2或=2(XY+XZ+YZ)所以: 3X^2+3Y^2+3Z^2或=X^2+Y^2+Z^2+2(XY+XZ+YZ) 即:3(X^2+Y^2+Z^2)或=(X+Y+Z)^2 因?yàn)閄^2+Y^2+Z^2=1 所以X+Y+Z<或=根3 又因?yàn)閄YZ<或=[(X+Y+Z)/3]^3 所以:XYZ<或=(3分之根3)^3=9分之根3 所以最大值=9分之根3

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運(yùn)用特值求解法：當(dāng)長方體變?yōu)檎襟w時，3x^=1,得xyz最大是=x^3=?

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x^2+y^2=2xy;y^2+z^2=2yz;z^2+x^2.=2zx.---x^2+y^2+z^2=xy+yz+zx---x^2+y^2+z^2+2(xy+yz+zx)=(x+y+z)^2=x+y+z=<√3.由x^2+y^2+z^2=1; x=y=z解得x=y=z=√3/3.因此當(dāng)且僅當(dāng)x=y=z=√3/3時等號成立.所以z+y+z有最大值√3

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長方體的對角線長為1,其長、寬、高分別為X，Y，Z，求X Y Z的最大值解：依題意：ＸＸ＋ＹＹ＋ＺＺ＝１求ＭＡＸ（ＸＹＺ）設(shè)：z=cosay=sinasinbx=sinacosb0

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x^2+y^2=2xy;y^2+z^2=2yz;z^2+x^2.=2zx.---x^2+y^2+z^2=xy+yz+zx---x^2+y^2+z^2+2(xy+yz+zx)=(x+y+z)^2=x+y+z=<√3.由x^2+y^2+z^2=1; x=y=z解得x=y=z=√3/3.因此當(dāng)且僅當(dāng)x=y=z=√3/3時等號成立.所以z+y+z有最大值√3

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長方體的對角線長為1,即:x^2+y^2+z^2=1又x^2+y^2+z^2≥3xyz, 即1≥3xyz,所以xyz≤1/3當(dāng)x=y=z=√3/3時,xyz有最大值=1/3

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長方體的對角線長為1,其長、寬、高分別為X，Y，Z，求X Y Z的最大值解：依題意：ＸＸ＋ＹＹ＋ＺＺ＝１求ＭＡＸ（ＸＹＺ）設(shè)：z=cosay=sinasinbx=sinacosb0

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因?yàn)閤，y，z均為正數(shù)，所以，x+y+z》3倍的立方根下xyz，從而，xyz《（1/3）的立方，即1/27。所以，xyz的最大值為1/27。[如果要證明不等式x+y+z》3倍的立方根下xyz，即證明三個正數(shù)的立方和的1/3不小于這三個數(shù)的乘積，作差，因式分解即可證明。]