(1)設向量組α1,α2,α3線性無關,證明:問a11α1+a12α2+a13α3,a21α1+a22α2+a23α3,a31α1+a32α2+a33α3何時線性相關,何時線性無關.(2)設ai(i=1,2,...,n)是互不相同的數,向量組αi=(1,ai,ai^2,...,ai^n-1)(i=1,2,...,n).求證:任一n維向量均可由α1,α2,...,αn唯一的線性表示.

熱心網友

這兩個題目很簡單，就是這里寫起來困難，我說一下證明方法，你自己可以完成證明，有不明白處可以再問。(1)設向量組α1,α2,α3線性無關,證明:問a11α1+a12α2+a13α3,a21α1+a22α2+a23α3,a31α1+a32α2+a33α3何時線性相關,何時線性無關。記A=(a(i,j))——3階方陣，即第i行是ai1，ai2，ai3（i=1，2，3）B=(αi)，即用向量αi作第i行（i=1，2，3）的矩陣，則AB是以a11α1+a12α2+a13α3為第1行,a21α1+a22α2+a23α3為第2行,a31α1+a32α2+a33α3為第3行的矩陣，記為C因為向量組α1,α2,α3線性無關，所以R(B)=3（矩陣的秩知道吧？）如果R(A)=3即|A|≠0，有R(C)=3,即a11α1+a12α2+a13α3,a21α1+a22α2+a23α3,a31α1+a32α2+a33α3線性無關；如果R(A)j≥1相乘），線性代數教材上都有這個例題。因為ai(i=1,2,。。。,n)是互不相同的數，所以|A|≠0，故R(A)=n,向量組αi=(1,ai,ai^2,。。。,ai^n-1)(i=1,2,。。。,n)線性無關，所以向量組αi=(1,ai,ai^2,。。。,ai^n-1)(i=1,2,。。。,n)構成n維向量空間的一組基，任一n維向量都可由它們線性表示，且表示法是唯一的。

熱心網友

1。設向量a1=（a11，a12，a13）,a2=（a21，a22，a23）,a3=（a31，a32，a33），3階方陣A=（a1^(t)，a2^(t)，a3^(t)),其中^(t)為轉置。矩陣B=（α1,α2,α3），矩陣C=（a11α1+a12α2+a13α3,a21α1+a22α2+a23α3,a31α1+a32α2+a33α3）==（β1，β2，β3）則C=BA。ⅰ）A可逆，則CA^(-1)=B，則α1,α2,α3被β1，β2，β3線性表示，而α1,α2,α3線性無關，則向量組β1，β2，β3的秩=3，所以向量組β1，β2，β3線性無關。ⅱ）A不可逆，則A的秩<3,而C=BA的秩≤A的秩<3，所以向量組β1，β2，β3的秩<3，所以向量組β1，β2，β3線性相關。2。有行列式|α1^(t)，α2^(t)，。。。，αn^(t)|=∏{1≤i