有界與無界的定義是什么？無窮大量與無界函數的區別和聯系是什么？

熱心網友

有界、無界都是對自變量的某一個變化范圍（一般是區間）而言的，如果在這個范圍內，不論自變量取什么值，函數值的絕對值都不超過某個正數M，則這個函數稱為在這個范圍內有界，否則則稱這個函數在這個范圍內無界。例如函數1/x在（1，2）內有界，而在（0，1）內無界。無窮大量是相對于自變量的某一變化過程而言的，例如當x趨向于0時，函數1/x是無窮大量，但在自變量的其它變化過程中，1/x都不是無窮大量。如果當自變量x趨向于a時，函數f(x)是無窮大量，則函數f(x)一定在a的鄰域內無界，但反過來則不一定，即哪怕函數在a的任一個鄰域內都無界，這個函數也未必是x趨向于a時的無窮大。例如函數x*cos(nx)在任區間（a，+∞）是無界的，但當x趨向于+∞時，這個函數不是無窮大量。