用羅爾or拉格朗日or柯西中值定理證明：x^5+x-1=0只有一個正根

熱心網友

本題不必直接使用中值定理，而使用由中值定理得到的關于單調性的結論，證明起來更方便。證明：令f(x)=x^5+x-1，則f(x)連續，且f(0)=-10∴存在ξ∈(0,1)，使f(ξ)=0，即原方程至少有一個正根；∵f'(x)=5x^4+10，∴f(x)單調增加，∴原方程至多有一個實根；綜上所述，原方程只有唯一一個實根在區間(0,1)之內。

熱心網友

f(x)=x^5+x-1,f(0)=-1有一個0,若f有2個根x1，x2則有x10矛盾。所以x^5+x-1=0只有一個<1的正根。