已知函數f(1-x^2)=㏒2[(2-x^2)/x^2].求f(x)的解析式及定義域；判定f(x)的單調性，并說明理由；設f(x)的反函數是f-1(x),求證：當n>=3,n∝N,f-1(n)>n/(n+1).

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已知函數f(1-x^2)=㏒2[(2-x^2)/x^2]。求f(x)的解析式及定義域；判定f(x)的單調性，并說明理由；設f(x)的反函數是f-1(x),求證：當n=3,n∝N,f-1(n)n/(n+1)。1）設t=1-x^2,x^2=1-t所以f(t)=log2((2-1+t)/(1-t))=log2((1+t)/(1-t))所以f(x)=log2((1+x)/(1-x))(1+x)/(1-x)0得,x的定義于為（－１，１）２）假設-10 1+x2-x11,-10so (1+((2(x2-x1)/(1+x2-x1-x1x2)))1so f(x1)-f(x2)0,so 在-10,遞減當，x1=x2=0,同樣綜上，在（－１，１）上為單調遞減函數．３）易得f-1(n)＝(2^n-1)/(2^n+1)(2^n-1)/(2^n+1)-n/(n+1)=(2^n-2n-1)/(2^n(n+1)+n+1)2^n-2n-1當n=3,2^n-2n-1=10假設，n=k,2^k-2k-10滿足當n=k+1,2*2^k-2k-2-1=2^k-2k-1+2^k-20又因為2^n(n+1)+n+1＞０所以f-1(n)n/(n+1)。。

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解：令1-x^2=m　∴x^2=1-m∴f(1-x^2)=㏒2[(2-x^2)/x^2]可以化成：f(m)=㏒2 [2-(1-m)/(1-m)]即化成：f(m)=㏒2 (1+m)/(1-m)　　(其中的2表示對數的底)①f(x)的解析式為：f(x)=㏒2 (1+x)/(1-x)　　(其中的2表示對數的底)定義域：(1+x)/(1-x)＞0　解得：-1＜x＜1②令-1＜a＜b＜1 則：∵(1+a)/(1-a)－(1+b)/(1-b)=2(a-b)/(1-a)(1-b)＜0∴(1+a)/(1-a)＜(1+b)/(1-b)∴f(x)=㏒2 (1+x)/(1-x)是減函數③f(x)=㏒2 (1+x)/(1-x)令y=㏒2 (1+x)/(1-x)則(1+x)/(1-x)＝2^y 解得：x=[(2^y)-1]/[(2^y)+1]反函數為：f-1(x)＝[(2^x)-1]/[(2^x)+1]此時f-1(n)＝[(2^n)-1]/[(2^n)+1]則：[(2^n)-1]/[(2^n)+1]　－n/(n+1)＝[(2^n)-2n-1]/{(n+1)*[(2^n)+1]}分析：分母＞0，就是判斷分子是否大于0即轉化成求證：2^n-2n-1＞0　　　n≥3用數學歸納法吧，比較簡單點證明：當n＝3時，2^n-2n-1＝2^3-2*3-1＝1＞0　顯然成立設當n=m時成立 即：2^m-2m-1＞0當n=m+1時2^(m+1)-2(m+1)-1=2*2^m-2m-2-1=(2^m-2m-1)+(2^m-2)＞0即當n=m+1時也成立所以：當n≥3,n∈N,f-1(n)n/(n+1)。。