已知偶函數g（x），奇函數f（x），且滿足f（x)+g(x）=a的x次方。（ a〉０且ａ不為１） １．求證：ｆ（２ｘ）＝２ｆ（ｘ）ｇ（ｘ） ２．設ｆ（ｘ）的反函數ｆ－１（ｘ），當ａ＝根號２－１時，是比較ｆ－１［ｇ（ｘ）］與－１的大小，并證明你的結論。 ３．若ａ〉１，ｎ屬于正自然數，且ｎ大于等于２，比較ｆ（ｎ）與ｎｆ（１）的大小，并證明你的結論。

熱心網友

第1小題：∵g(x)為偶函數；f(x)為奇函數且f(x)+g(x)=a^x∴f(-x)+g(-x)=-f(x)+g(x)=a^(-x)即-f(x)+g(x)=a^(-x)…………①∵f(x)+g(x)=a^x…………②聯立①②，得f(x)=[a^x-a^(-x)]/2；　g(x)=[a^x+a^(-x)]/2∴f(2x)=[a^2x-a^(-2x)]/2；∵2f(x)*g(x)=2*{[a^x-a^(-x)]/2}*{[a^x+a^(-x)]/2}=[a^2x-a^(-2x)]/2∴f(2x)=2f(x)*g(x)　得證第2小題：∵f(x)=[a^x-a^(-x)]/2∴f'(x)=log(a)[x+√(x^2+1)]∵g(x)=[a^x+a^(-x)]/2≥2√[a^x×a^(-x)] /2=1 (∵a＞0)∵f'(x)=log(a)[x+√(x^2+1)]且a=√2-1　∴0＜a＜1∴f'(x)為減函數∵g(x)≥1 ∴f'[g(x)]≤f'(1)∵f'(1)=log(a)[x+√(x^2+1)]=log(a)[1+√(1+1)]=log(a)(1+√2)∵a=√2-1　∴f'(1)=log(√2-1)(1+√2)=-1∴f'[g(x)]≤f'(1)=-1即f'[g(x)]≤-1第3小題：比較：f(n)與nf(1)∵f(x)=[a^x+a^(-x)]/2∴f(n)=[a^n+a^(-n)]/2；nf(1)=n*[a+a^(-1)]/2=(a^2+1)n/2即比較a^n+a^(-n)與(a^2+1)n的大小　　(a＞1,n≥2且a,n為正整數)還沒想好。