如何從單調性方向來求證sinx=x只有一實根,多謝!

熱心網友

（1）直接證明。可設函數 f(x)＝sinx - x ，則 f'(x)＝cosx - 1 [ f'(x) 表示求導],因 cosx≤1, 所以 f'(x)≤0, 那么 f(x) 在 (-∞,+∞) 內單調遞減，其圖像與 x軸僅有一個交點，故 方程 sinx - x＝0 （即 sinx＝x）只有一個實根 x＝0。[注：雖然 f(x) 不是“嚴格單減”，但其駐點 ---- 即 x＝2kπ，k∈Z ---- 都是離散的，所以 f(x) 不可能在 x 的某一個鄰域 (x-△,x+△) 內為恒值，當然也就不可能在 x＝0 的鄰域 (0-△,0+△) 內恒為 0。]（2）反證法。設方程 sinx - x＝0 至少有兩個根，且相鄰的兩根為 x1，x2（不妨設 x1＜x2），由于 f(x)＝sinx - x 是連續可導函數，那么在 (x1，x2) 內必有一個極值點 x3，因此在區域 (x1，x3) 或 (x3，x2) 必存在“單調遞增”區域，這與 f'(x)＝cosx - 1≤0 矛盾，所以 方程 sinx - x＝0 僅有一個實根 x=0。。

熱心網友

石頭的兩種證明都只證明了一個結論：方程sin(x)=x至多只有一個實根。必須首先證明方程確實有實根，證明才是完整的，雖然這個方程的實根是顯而易見的x=0。可以首先用零點定理證明方程至少有一個實根，然后用石頭的第一種證明作為證明的后半部分，這樣才完整。