如何理解運用三垂線定理？

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三垂線定理（一）數學組：周海軍一、教學目標說明（1） 三垂線定理及其逆定理都是研究直線和直線的垂直關系的。它們在空間圖形的計算問題和證明問題中有著廣泛的應用，所以這部分內容中的知識必須達到理解、應用的水平。（2）利用計算機模擬運動，增強直觀性，激勵學生的學習動機，培養學生的空間想象能力和轉化的數學思想方法；同時培養學生觀察、猜想和論證能力。二、教學重點和難點重點：三垂線定理及逆定理的教學，兩個定理的應用難點：三垂線定理及逆定理的應用三、教學方法講練結合，運用計算機輔助教學四、教學過程及說明1、復習舊知，揭示課題 在立體圖形的性質討論或計算中，常常要遇到判定兩條直線垂直的問題或求點到直線距離的問題。這些問題可通過線面垂直的討論或用平移轉化為平面內問題的方法來解決，但這樣做比較煩瑣，時否能找出直接判定空間兩直線垂直的方法呢？ 例、在立方體ABCD-A1B1C1D1中，（1）找出平面AC的斜線BD1在平面AC內的射影；（2）直線BD1和直線AC的位置關系如何？（3）直線BD1和直線AC所成的角是多少度？解：連結BD交AC于點O，過O作BD1的平行線交DD1于點M，連結MA、MC則∠MOA或其補角即為異面直線AC和BD1所成的角。不難得到MA=MC，而O為AC的中點，因此MO⊥AC，即∠MOA=90°，∴異面直線BD1與AC所成的角為90°。 通過回憶斜線、射影、直線與直線的位置關系，揭示這節課所要學的內容與原來所學的知識之間的內在聯系，也就是提醒學生這節課的目的是利用所學過的數學知識去總結結論，發現定理，從而為定理的證明打下了基礎。2、分析定理，得出逆定理① 分析定理中的關鍵字詞，計算機閃爍相應字詞及相應的圖形，其目的是幫助學生更好地理解定理，加深印象。② 在定理證明完畢，提問：若將已知條件“a⊥AO”與“a⊥PO”互換，結論成立嗎？電腦動態顯示“a⊥AO ” 與 “a⊥PO ” 語句的移動，激發學生的學習興趣，增強探索問題的能力。③定理與逆定理的一致性，分析定理中的元素與用途。通過電腦動態顯示，進一步加深學生對兩個定理的理解。三垂線定理：在平面內的一條直線，如果和這個平面的一條斜線垂直，那么這也和這條斜線垂直。已知：PA、PO分別是平面α的垂線、斜線，AO是PO在平面α上的射影，直線a在平面α內，a⊥AO求證：a⊥PO。證明： AO⊥a a⊥PO三垂線定理的逆定理：在平面內的一條直線，如果和這個平面的一條斜線垂直，那么也和這條斜線的射影垂直。小結1：定理中涉及到的幾何元素是：（1）一個平面；（2）四條直線：①平面的垂線；②平面的斜線；③斜線在這個平面內的射影；④平面內的一條直線。（3）三個垂直：①垂線與平面垂直；②平面內的直線和斜線在這個平面內的射影垂直；③平面內的直線和斜線垂直。3、應用定理例1、在空間四邊形ABCD中，AB⊥CD，AH⊥平面BCD，求證：BH⊥CD證明：∵AH⊥平面BCD∴AB在平面BCD內的射影為BH又∵AB⊥CD，且CD在平面BCD內由三垂線定理的逆定理知，BH⊥CD。例1的目的在于要求學生掌握定理的用法，并小結利用定理證明線線垂直的一般步驟：一定二找三證。例2、已知：在直角三角形ABC中，角A為直角，，PA⊥平面ABC，BD⊥PC，垂足為D；求證：AD⊥PC證明：∵PA ⊥平面ABC∴PA⊥BA又∵BA⊥AC∴BA⊥平面PAC∴AD是BD在平面PAC內的射影又∵BD⊥PC∴AD⊥PC。（三垂線定理的逆定理）例3、在立方體ABCD-A1B1C1D1內（1）立方體的各個面上的對角線與立方體的對角線A1C互相垂直 的共有幾條？說明：可以得到線面垂直；（2）設O是BD的中點，E、F分別是A1B1和的B1C1中點，求證：D1O⊥EF；略解：法1：可以證明D1O在平面A1C1上的射影是B1D1而B1D1⊥直線EF，由三垂線定理知EF⊥D1O法2：可以證明EF⊥平面B1BDD1。（3）若P點為BD上的任一點，則A1C和D1P不垂直。說明：通過典型的練習，使學生從不同的圖形、不同的角度去考察三垂線定理，突出對象的本質要素——平面的垂線，從而正確理解三垂線定理，熟練掌握三垂線定理的各種變式及應用的關鍵，這對強化遷移，進一步培養學行的空間想象能力及邏輯思維能力是十分有利的。4、練習:判斷正誤，并說明理由：（1）如果一條直線和斜線在平面上的射影垂直，那么這條直線和斜線垂直；（2）如果平面內的一條直線和斜線在此平面上的射影不垂。