我作業中也有下面這個題目(見 到底誰錯了？ 望詳細說明。謝謝。

熱心網友

應如下：設Cr={|z|=r，α≤argz≤β}由一致收斂得，對于所有ε0,存在R0,當|z|R，α≤argz≤β，時|zf（z）-K|≤ε，==》|∫{Cr}f（z）dz-iK（β-α）|=|∫{α≤θ≤β}[re^(iθ)f（re^(iθ))-K]idθ|≤≤∫{α≤θ≤β}|[re^(iθ)f（re^(iθ))-K]i|dθ≤ε(β-α)==Lim{r→∞}∫{Cr}f（z）dz=iK（β-α）。 因為復數里邊沒有中值定理（一定注意），顯然中值定理和留數定理矛盾，但留數定理不可能錯。當時你選錯了。補：定義在[a，b]的復值連續函數f（t），可以寫成f（t）=g（t）+ih（t），其中g（t），h（t）為定義在[a，b]的實值連續函數（即高數中的連續函數）∫{a≤t≤b}f（t)dt=∫{a≤t≤b}g（t)dt+i∫{a≤t≤b}h（t)dt對g（t），h（t）使用中值定理，有a≤c，d≤b，∫{a≤t≤b}g（t)dt=（b-a）g（c），∫{a≤t≤b}h（t)dt=（b-a）h（d），一般c和d不相等，∫{a≤t≤b}f（t)dt=（b-a）[g（c）+ih（d）]，但沒有a≤e≤b，使∫{a≤t≤b}f（t)dt=（b-a）[g（e）+ih（e）]==（b-a）[f（e）]成立。如：[a，b]=[0，1]，g（t）=t，h（t）=t^2,f（t）=t+it^2==c=1/2,d=1/3,∫{0≤t≤1}f（t)dt=1/2+i/3,但沒有0≤e≤1，使∫{0≤t≤1}f（t)dt=[e+ie^2]成立，即[1/2]^2≠1/3。再補：上面的例子已否定復數里邊中值定理。而你證明中使用中值定理就肯定錯了。其實和本題有關的例子太多了，取f（z）=1/z^2，α=0，β=2π，==》K=0顯然∫{Cr}f（z）dz=0，而按你的中值定理得∫{Cr}f（z）dz=∫{0≤θ≤2π}[re^(iθ)f（re^(iθ))idθ==2πie^(-iθ1)/r，0≤θ1≤2π按你的證明得2πe^(-iθ1)i/r=0，可能嗎？兩次中值定理：∫{Cr}f（z）dz=∫{α≤θ≤β}[re^(iθ)f（re^(iθ))idθ=∫{α≤θ≤β}Re[re^(iθ)f（re^(iθ))i]dθ++i∫{α≤θ≤β}Im[re^(iθ)f（re^(iθ))i]dθ=={Re[re^(iθ1)f（re^(iθ1))i]+iIm[re^(iθ2)f（re^(iθ2))i]}（β-α）→→iK（β-α）。 。

熱心網友

我仔細考慮過了，用積分中值定理是不妥的，特此聲明，順致歉意。