已知三棱柱S-ABC三條側棱SA，SB，SC兩兩垂直，它們與底面ABC成角分別為α ，β ，γ求證：SIN^2(α) +SIN^2(β )+SIN^2(γ)為定植,并求此值(注:^2是平方)

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證明:設S在底面ABC上的射影為O,連AO,BO,CO。并設AO,BO,CO交對邊與D,E,F。∵SA⊥SB,SA⊥SC∴SA⊥面SBC∴SA⊥BC又SO⊥底面ABC,由三垂線定理可得:∴AO⊥BC,同理BO⊥AC,CO⊥AB∴O是△ABC的垂心。在△ASD中,∵SO⊥底面ABC,∴SA與底面ABC成角就是∠SAO=α。∴sinα=SD/AD=∴sin^α=SD^/AD^又射影定理(平面幾何)可得:SD^=DO·AD[注:或利用△SOD∽△ASD]∴sin^α=SD^/AD^=DO·AD/AD^=DO/AD又三角形OBC的面積為ＳOBC=(1/2)BC·DO。三角形ABC的面積為ＳABC=(1/2)BC·AD。DO/AD=ＳOBC/ＳABC∴sin^α=ＳOBC/ＳABC同理sin^β=ＳOAC/ＳABC,sin^γ=ＳOAB/ＳABCsin^α+sin^β+sin^γ=ＳOBC/ＳABC+ＳOAC/ＳABC+ＳOAB/ＳABC=(ＳOBC+ＳOAC+ＳOAB)/ＳABC=1。

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電腦有問題了