熱心網友

相交弦定理、切割線定理、割線定理等統稱為圓冪定理。它的基本內容是，在平面上經過點P的直線與⊙O相交于A、B兩點，有向線段PA、PB的乘積PA·PB是一個定值。當這個點P在⊙O外時，這個定值為正，當點P在⊙O內時，這個定值為負，當點在⊙O上時，定值為0。

熱心網友

課題：圓冪定理及其應用教學目標1、使學生理解相交弦定理、切割線定理及其推論間的相互關系，并能綜合運用它們解決有關問題；2、通過對例題的分析，提高學生分析問題和解決問題的能力，并領悟添加輔助線的方法；3、從運動的觀點來統一認識圓冪定理，對學生進行事物之間是相互聯系和運動變化的觀點的教育。教學重點與難點相交弦定理、切割線定理及其推論之間的關系以及應用是重點靈活運用圓冪定理解題是難點。教學方法：啟發式、討論式、練習式媒體選擇：多媒體電腦或投影儀、貼圖教學過程設計一、從學生原有的認知結構提出問題(大約10~15分鐘)1、根據下圖(1)、(2)、(3)(三個圖合為貼圖1)，讓學生結合圖形，說出相交弦定理、切割線定理、割線定理的內容。2、然后提出問題：相交弦定理、切割線定理及其推論這三者之間是否有聯系？〖教學思路：提出問題讓學生思考，在學生回答的基礎上，教師用電腦或投影演示圖形的變化過程，從相交弦定理出發，用運動的觀點來認識定理。〗(1)如圖(4)，⊙O的兩條弦AB，CD相交于點P，則PA•PB=PC•PD。這便是我們學過的相交弦定理，對于這個定理有兩個特例：一是如圖(5)圓內兩條弦交于圓心O，則有PA=PB=PC=PD=圓的半徑R，雖然，相交弦定理當然成立。二是如圖(6)當點P逐漸離開圓心O，運動到圓上時，點P和B，D重合，此時PB=PD=0，仍然有PA•PB=PC•PD=0，相交弦定理仍然成立。(電腦演示三個圖形的變化)(2)點P繼續運動到圓外如圖(7)，兩弦的延長線交于圓外一點P，成為兩條割線，則有PA•PB=PC•PD，這就是我們學過的切割線定理的推論(割線定理)。(3)在圖(7)中，如果將割線PDC按箭頭所示方向繞P點旋轉，使C，D兩點在圓上逐漸靠近，以至于合為一點C，割線PDC變成切線PC。這時有PA•PB=PC•PD=PC2，這就是我們學過的切割線定理。如圖(8)(4)在圖(8)中，如果再將割線PAB也繞P點向外旋轉的話，也會變成一條切線PA，這時應有PA2=PC2，可得PA=PC，這就是我們學過的切線長定理。如圖(9)(電腦演示三個圖形的變化過程)至此,通過點、線的運動變化,我們發現,相交弦定理、切割線定理及其推論和切線長定理之間有著密切的聯系。3、〖教學思路：通過以下證明(課本P。134B組4題)啟發學生理解定理的實質，從而掌握定理間內在聯系的理論根據。同時也可培養學生勇于探索新知識及分析、總結問題的習慣，激發學生的學習興趣，樹立學生科學的學習態度。〗經過一定點P作圓的弦或割線或切線，如圖(10)(11)(12)通過觀察可以得出(設⊙O的半徑為R)(三個圖合為貼圖2)在圖(10)中，PA•PB=PC•PD=PE•PF=(R-OP)(R+OP)=R2-OP2；在圖(11)中，PA•PB=PT2=OP2-OT2=OP2-R2；在圖(12)中，PA•PB=PC•PD=PT2=OP2-R2。教師指出，由于PA•PB均等于│OP2-R2│，為一常數，叫做點P關于⊙O的冪，所以相交弦定理、切割線定理及其推論(割線定理)統稱為圓冪定理。二、例題分析(采用師生共同探索、講練結合的方式進行)(大約15分鐘)例1 如圖(13)(貼圖3)，兩個以O為圓心的同心圓，AB切大圓于B，AC切小圓于C，交大圓于D，E，AB=12，AO=15，AD=8，求兩圓的半徑。【分析】：結合圖形和已知條件，根據勾股定理容易求出大圓的半徑OB。求OC也可考慮用上述方法，但AC未知，此時則可根據切割線定理先求出AE，再利用垂徑定理可求出AC，于是問題得解。(由學生討論、分析，得出解決)例2、如圖(14)在以O為圓心的兩個同心圓中，A，B是大圓上任意兩點，過A，B作小圓的割線AXY和BPQ,求證：AX•AY=BP•BQ(課本P。134B組5題)【分析】在平面幾何比較復雜的圖形中，往往都是由幾個簡單的圖形組合而成的。但本題不直接含有這樣的圖形，我們應考慮通過添加適當的輔助線來構造出這樣的圖形，以此為出發點，師生共同探索，得出以下幾種不同的輔助線的添法。方法1 在圖(15)(貼圖4)中，過為A，B分別作小圓的切線AC，BD，切點為C，D，這時就出現了切割線定理的基本圖形，于是有AC2=AX•AY，BD2=BP•BQ。再連結CO，AO，DO，BO，易證Rt△AOC≌Rt△BOD，得出AC=BD，所以AX•AY=BP•BQ方法2 在圖(16)(貼圖5)中作直線XP交大圓于E，F，分別延長AY，BQ，交大圓于C，D，這樣就出現了相交弦定理的基本圖形，于是有AX•XC=EX•XF，BP•PD=FP•PE，易證AX=CY，BP=DQ，EX=FP，所以AX•XC=AX•AY，BP•PD=BP•BQ，EX•XF=FP•PE，所以AX•AY=BP•BQ。方法3 如圖(17)(貼圖6)，由于點O是圓內的特殊點，考慮過O點的特殊割線，作直線AO交小圓于E，F，作直線BO交小圓于C，D，則出現了割線定理的基本圖形，于是有AX•AY=AE•AF，BP•BQ=BC•BD，易證AE=BC，AF=BD，所以AE•AF=BC•BD，從而AX•AY=BP•BQ〖教學思路：通過對以上方法的分析，將“和圓有關的比例線段”這一節的幾個定理緊密結合起來，溝通了知識間的聯系。同時也向學生滲透了數學中的“化歸”思想，以及數學中的“化未知為已知”的數學方法。〗三、強化練習(可分組或讓兩位學生到黑板上完成)(大約10分鐘)練習1 已知P為⊙O外一點，OP與⊙O交于點A，割線PBC與⊙O交于點B，C，且PB=BC，如果OA=7，PA=2，求PC的長。練習2 如圖(18)，⊙O和⊙O′都經過點A和B，PQ切⊙O于P，交⊙O′于Q，M，交AB的延長線于N，求證：PN2=NM•NQ。(要注意引導學生發現基本圖形) (此兩題可用投影打出或看課本P。130練習)四、小結(5分鐘)用投影打出圓冪定理的基本圖形(圖19)，讓學生觀察并說出相應的定理。PC2=PA•PB PA•PB=PC•PD PA•PB=PC•PD PT2=PC•PD PS2=PA•PB PT=PS(PT2=PS2) 教師指出：以上定理形式雖然不同，但實質相同，它們是相互統一的。五、布置作業課本P。133習題7。4A組13、14題思考題：課本P。130。想一想，P。134 B組6題六、板書設計七、教后記課本沒有給出“圓冪定理”這一名稱，而是以“和圓有關的比例線段”的形式出現的，教學時可根據學生的程度而定。圓冪定理十分重要，它是進行幾何論證、計算和作圖的常用定理，但是應用難度較大，所以在教學時，既要讓學生認清定理間的內在聯系和本質特征，也應時刻注意啟發學生進行思考，培養學生的發散思維能力。例題和練習題可根據學生實際選用。。

熱心網友

弦切角算伐？