求y=1/x,y=x+3/2,y=x-3/2,y=-x所圍成的圖形繞直線y=-x旋轉的旋轉體體積？

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數學題提問者：我要讀研 (2005-11-27 16:18:23) 求y=1/x,y=x+3/2,y=x-3/2,y=-x所圍成的圖形繞直線y=-x旋轉的旋轉體體積？ 答：旋轉體體積V=57π/8√2。1。將坐標軸逆時針旋轉45度，即以x=Xsin45+Ycos45 和y=Xcos45-Ysin45代入上列所有方程，可得：y=1/x== Xcos45-Ysin45=1/( Xsin45+Ycos45) ==X^2/2-Y^2/2=1, ==X^2= Y^2+2……(1)y=x+3/2== -Y√2=3/2 ==Y=-3/2√2……(2)y=x-3/2== -Y√2=-3/2 == Y=3/2√2……(3)y=-x== Xcos45-Ysin45+ Xsin45+Ycos45=0 ==X=0………(4)2。為方便書寫，以下仍以x代X，以y代Y。由(1) (2) (3) (4)圍成的面積，繞x=0旋轉時，層高為dy的薄盤的半徑r=x=√(Y^2+2),其體積為dv=πr^2dy, 則旋轉體體積V=∫πr^2dy=∫π(y^2+2)dy,(積分下、上限為∣-3/2√2--3/2√2∣。)V=2π(y^3/3+2y) (積分下、上限為∣0--3/2√2∣)V=2π(9/(16√2)+3/√2)= 57π/8√2。。