已知函數(shù)f在［0,1］有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且f(0)=f(1)=f'(0)=0,f'(1)=1。求證:從0到1的∫[f''(x)]^2dx≥4.并且證明4是最佳值.因為沒WORD,打不出0到1的積分公式,就只好醬紫咯.大家?guī)蛶兔?偶大一新生搞不清楚那些莫名其妙的作業(yè)題目.

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題目是對的,但確實有點難度,值得考慮.估計要用插值來做.想了一會兒用伯恩施坦多項式插值構(gòu)造函數(shù)p(x)=x^3-x^2.那么它剛好滿足條件p(0)=p(1)=p'(0)=0,p'(1)=1.而且∫[p''(x)]^2dx=4。那么就只需要證明∫[f''(x)]^2dx≥∫[p''(x)]^2dx就可以了。而所要證明的不等式顯然成立.因為用∫[f''(x)-p''(x)]^2dx≥0而∫[f''(x)-p''(x)]^2dx＝∫[f''(x)]^2dx-4≥0就證明出了答案對f''(x)＝p''(x)積分，且滿足題條件得出f(x)＝p(x)為取等條件

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暈! 題條件有問題! f'(1)=2就對了利用柯西不等式:(∫[f(x)]^2dx)(∫[g(x)]^2dx)≥(∫f(x)g(x)dx)^2很容易得出 :∫[f''(x)]^2dx∫dx≥(∫f''(x)dx)^2=(f'(1)-f'(0))^2=1

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證出幾個例子就可以了,通常是這樣

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題目有點問題，應(yīng)該大于等于1啊，用Schwarz不等式可很容易求得。