求不定方程4x+y=3xy的一切整數解

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求不定方程4x+y=3xy的一切整數解 解：由原方程得：x=y/(3y-4),則3x=3y/(3y-4)=1+[4/(3y-4)] ∵x是整數，∴3y-4=±1，±2，±4，由此得y=5/3,2,8/3,1,2/3,0. 取整數解y=2，1，0，對應的x=1，-1，0所以方程的整數解為:x=1,y=2.x=-1,y=1.x=0,y=0.注：本題是用數的整除性來求不定方程的整數解。

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求不定方程4x+y=3xy的一切整數解4x+y=3xyy=x(3y-4)----3x=3y/(3y-4)=1+4/(3y-4)----(3x-1)(3y-4)=4∴3x-1=±1、±2、±4，相應地，3y-4=±4、±2、±1當3x-1=1、-2、4時，即x不是整數，舍去；當3x-1=-1即x=0時，3y-4=-4，y=1當3x-1=2即x=1時，3y-4=2，y=2當3x-1=-4即x=-1時，3y-4=-1，y=1∴4x+y=3xy的一切整數解為(0,0)(2,2)(-1,1)

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（０，０）（１，２）