在平面直角坐標系中,設向量AB=a1,BC=a2,DA=a3,CD=a4,且an=(xn,yn).數列{xn},{yn}分別是等差數列和等比數列,求證:四邊形ABCD是平行四邊形.

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在平面直角坐標系中,設向量AB=a1,BC=a2,DA=a3,CD=a4,且an=(xn,yn).數列{xn},{yn}分別是等差數列和等比數列,求證:四邊形ABCD是平行四邊形.an=xni+ynj,n=1,2,3,4AB+BC+DA+CD=a1+a2+a3+a4=0---x1+x2+x3+x4=0,y1+y2+y3+y4=0{xn}是等差數列---x1+x4=x2+x3=0{yn}是等比數列---y1(1+q+q^+q^3)=0---y1≠0---(1+q)(1+q^)=0---q=-1---y1=y3=-y2=-y4----y1+y4=y2+y3=0∴a1+a4=a2+a3=0∴AB+CD=BC+DA=0即：AB∥CD，BC∥DA----〉四邊形ABCD是平行四邊形