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在第一次危機中導(dǎo)致無理數(shù)的產(chǎn)生；第二次危機發(fā)生在十七世紀(jì)微積分誕生后，無窮小量的刻畫問題，最后是柯西解決了這個問題；第三次危機發(fā)生在19世紀(jì)末，羅素悖論的產(chǎn)生引起數(shù)學(xué)界的軒然大波，最后是將集合論建立在一組公理之上，以回避悖論來緩解數(shù)學(xué)危機。第一次危機發(fā)生在公元前580～568年之間的古希臘，數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯建立了畢達(dá)哥拉斯學(xué)派。這個學(xué)派集宗教、科學(xué)和哲學(xué)于一體，該學(xué)派人數(shù)固定，知識保密，所有發(fā)明創(chuàng)造都?xì)w于學(xué)派領(lǐng)袖。當(dāng)時人們對有理數(shù)的認(rèn)識還很有限，對于無理數(shù)的概念更是一無所知，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派所說的數(shù)，原來是指整數(shù)，他們不把分?jǐn)?shù)看成一種數(shù)，而僅看作兩個整數(shù)之比，他們錯誤地認(rèn)為，宇宙間的一切現(xiàn)象都?xì)w結(jié)為整數(shù)或整數(shù)之比。該學(xué)派的成員希伯索斯根據(jù)勾股定理（西方稱為畢達(dá)哥拉斯定理）通過邏輯推理發(fā)現(xiàn)，邊長為1的正方形的對角線長度既不是整數(shù)，也不是整數(shù)的比所能表示。希伯索斯的發(fā)現(xiàn)被認(rèn)為是“荒謬”和違反常識的事。它不僅嚴(yán)重地違背了畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的信條，也沖擊了當(dāng)時希臘人的傳統(tǒng)見解。使當(dāng)時希臘數(shù)學(xué)家們深感不安，相傳希伯索斯因這一發(fā)現(xiàn)被投入海中淹死，這就是第一次數(shù)學(xué)危機。最后，這場危機通過在幾何學(xué)中引進(jìn)不可通約量概念而得到解決。兩個幾何線段，如果存在一個第三線段能同時量盡它們，就稱這兩個線段是可通約的，否則稱為不可通約的。正方形的一邊與對角線，就不存在能同時量盡它們的第三線段，因此它們是不可通約的。很顯然，只要承認(rèn)不可通約量的存在使幾何量不再受整數(shù)的限制，所謂的數(shù)學(xué)危機也就不復(fù)存在了。第二次數(shù)學(xué)危機發(fā)生在十七世紀(jì)。十七世紀(jì)微積分誕生后，由于推敲微積分的理論基礎(chǔ)問題，數(shù)學(xué)界出現(xiàn)混亂局面，即第二次數(shù)學(xué)危機。其實我翻了一下有關(guān)數(shù)學(xué)史的資料，微積分的雛形早在古希臘時期就形成了，阿基米德的逼近法實際上已經(jīng)掌握了無限小分析的基本要素，直到2100年后，牛頓和萊布尼茲開辟了新的天地——微積分。第三次數(shù)學(xué)危機發(fā)生在1902年，羅素悖論的產(chǎn)生震撼了整個數(shù)學(xué)界，號稱天衣無縫，絕對正確的數(shù)學(xué)出現(xiàn)了自相矛盾。
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數(shù)學(xué)歷史上的三次危機經(jīng)濟(jì)上有危機，歷史上數(shù)學(xué)也有三次危機．第一次危機發(fā)生在公元前580～568年之間的古希臘，數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯建立了畢達(dá)哥拉斯學(xué)派．這個學(xué)派集宗教、科學(xué)和哲學(xué)于一體，該學(xué)派人數(shù)固定，知識保密，所有發(fā)明創(chuàng)造都?xì)w于學(xué)派領(lǐng)袖．當(dāng)時人們對有理數(shù)的認(rèn)識還很有限，對于無理數(shù)的概念更是一無所知，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派所說的數(shù)，原來是指整數(shù)，他們不把分?jǐn)?shù)看成一種數(shù)，而僅看作兩個整數(shù)之比，他們錯誤地認(rèn)為，宇宙間的一切現(xiàn)象都?xì)w結(jié)為整數(shù)或整數(shù)之比．該學(xué)派的成員希伯索斯根據(jù)勾股定理（西方稱為畢達(dá)哥拉斯定理）通過邏輯推理發(fā)現(xiàn)，邊長為l的正方形的對角線長度既不是整數(shù)，也不是整數(shù)的比所能表示．希伯索斯的發(fā)現(xiàn)被認(rèn)為是“荒謬”和違反常識的事．它不僅嚴(yán)重地違背了畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的信條，也沖擊了當(dāng)時希臘人的傳統(tǒng)見解．使當(dāng)時希臘數(shù)學(xué)家們深感不安，相傳希伯索斯因這一發(fā)現(xiàn)被投入海中淹死，這就是第一次數(shù)學(xué)危機． 這場危機通過在幾何學(xué)中引進(jìn)不可通約量概念而得到解決．兩個幾何線段，如果存在一個第三線段能同時量盡它們，就稱這兩個線段是可通約的，否則稱為不可通約的．正方形的一邊與對角線，就不存在能同時量盡它們的第三線段，因此它們是不可通約的．很顯然，只要承認(rèn)不可通約量的存在使幾何量不再受整數(shù)的限制，所謂的數(shù)學(xué)危機也就不復(fù)存在了．不可通約量的研究開始于公元前4世紀(jì)的歐多克斯，其成果被歐幾里得所吸收，部分被收人他的《幾何原本》中． 第二次數(shù)學(xué)危機發(fā)生在十七世紀(jì)．十七世紀(jì)微積分誕生后，由于推敲微積分的理論基礎(chǔ)問題，數(shù)學(xué)界出現(xiàn)混亂局面，即第二次數(shù)學(xué)危機．微積分的形成給數(shù)學(xué)界帶來革命性變化，在各個科學(xué)領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用，但微積分在理論上存在矛盾的地方．無窮小量是微積分的基礎(chǔ)概念之一．微積分的主要創(chuàng)始人牛頓在一些典型的推導(dǎo)過程中，第一步用了無窮小量作分母進(jìn)行除法，當(dāng)然無窮小量不能為零；第二步牛頓又把無窮小量看作零，去掉那些包含它的項，從而得到所要的公式，在力學(xué)和幾何學(xué)的應(yīng)用證明了這些公式是正確的，但它的數(shù)學(xué)推導(dǎo)過程卻在邏輯上自相矛盾．焦點是：無窮小量是零還是非零？如果是零，怎么能用它做除數(shù)？如果不是零，又怎么能把包含著無窮小量的那些項去掉呢？直到19世紀(jì)，柯西詳細(xì)而有系統(tǒng)地發(fā)展了極限理論．柯西認(rèn)為把無窮小量作為確定的量，即使是零，都說不過去，它會與極限的定義發(fā)生矛盾．無窮小量應(yīng)該是要怎樣小就怎樣小的量，因此本質(zhì)上它是變量，而且是以零為極限的量，至此柯西澄清了前人的無窮小的概念，而且把無窮小量從形而上學(xué)的束縛中解放出來，第二次數(shù)學(xué)危機基本解決． 第二次數(shù)學(xué)危機的解決使微積分更完善． 第三次數(shù)學(xué)危機，發(fā)生在十九世紀(jì)末．當(dāng)時英國數(shù)學(xué)家羅素把集合分成兩種． 第一種集合：集合本身不是它的元素，即AA；第二種集合：集合本身是它的一個元素A∈A，例如一切集合所組成的集合． 那么對于任何一個集合B，不是第一種集合就是第二種集合． 假設(shè)第一種集合的全體構(gòu)成一個集合M，那么M屬于第一種集合還是屬于第二種集合． 如果M屬于第一種集合，那么M應(yīng)該是M的一個元素，即M∈M，但是滿足M∈M關(guān)系的集合應(yīng)屬于第二種集合，出現(xiàn)矛盾． 如果M屬于第二種集合，那么M應(yīng)該是滿足M∈M的關(guān)系，這樣M又是屬于第一種集合矛盾． 以上推理過程所形成的俘論叫羅素悖論．由于嚴(yán)格的極限理論的建立，數(shù)學(xué)上的第一次第二次危機已經(jīng)解決，但極限理論是以實數(shù)理論為基礎(chǔ)的，而實數(shù)理論又是以集合論為基礎(chǔ)的，現(xiàn)在集合論又出現(xiàn)了羅素悖論，因而形成了數(shù)學(xué)史上更大的危機． 從此，數(shù)學(xué)家們就開始為這場危機尋找解決的辦法，其中之一是把集合論建立在一組公理之上，以回避悖論．首先進(jìn)行這個工作的是德國數(shù)學(xué)家策梅羅，他提出七條公理，建立了一種不會產(chǎn)生悖論的集合論，又經(jīng)過德國的另一位數(shù)學(xué)家弗芝克爾的改進(jìn)，形成了一個無矛盾的集合論公理系統(tǒng)．即所謂ZF公理系統(tǒng)．這場數(shù)學(xué)危機到此緩和下來． 數(shù)學(xué)危機給數(shù)學(xué)發(fā)展帶來了新的動力．在這場危機中集合論得到較快的發(fā)展，數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的進(jìn)步更快，數(shù)理邏輯也更加成熟．然而，矛盾和人們意想不到的事仍然不斷出現(xiàn)，而且今后仍然會這樣．。