熱心網友

自然數 即非負整數: 0, 1, 2, 3, 4, 。。。 自然數主要用處有二: 數數目 ("有 3 個蘋果?), 或排列 ("排名第 4")。數學家一般以 N 或 \mathbb{N} (粗黑色的 N) 代表以自然數組成的集合。此集合無限而可數。歷史與 0 的定性自然數由數數目而起。古希臘人最早研究其抽象特性，當中畢達哥拉斯學派更視之為宇宙之基本。其他古文明也對其研究作出極大貢獻，猷以印度對 0 的接受，為人稱道。 零早于公元前400年被巴比倫人用作數碼使用。馬雅人于公元200年將零視為數字，但未與其他文明有所交流。現代的觀念由印度學者Brahmagupta于公元628提出，經阿拉伯人傳至歐洲。歐洲洲人開始時仍對零作為數字感到抗拒，認為零不是一個?自然?數。 十九世紀未， 集合論者給自然數一個較嚴謹的定義。據此定義，把零（對應于空集)包括于自然數內更為方便。Cnic 亦跟從邏輯論者及電算機科學家，接受集合論者的定義。有些數學家，主要是數論學家，則依從傳統把零拒之于自然數之外。 [編輯]定義要給出自然數的嚴謹定義并非易事。Peano 公設提出自然數要適合五點： 有一起始自然數 0。 任一自然數 a 必有后繼（successor），記作 a + 1。 0并非任何自然數的后繼。 不同的自然數有不同的后繼。 （數學歸納公設）設 0 有一特性，而當一自然數有此特性則其后繼亦有此特性，則所有自然數皆有此特性。 若把 0 除出自然數之外，則公設內所有的 0 都要換作 1。 集合論中的一般構作法是把一自然數看作是所有比它少的自然數組成的集，即 0 = {}, 1 = {0}, 2 = {0,1}, 3 = {0,1,2}。。。 若有人把自然數看作集合，通當就是如上。 在此定義下，在集合 n 內就有 n 個元素；而若 n 小于 m，則 n 會是 m 的子集合。 [編輯]性質 自然數加法可經 a + 0 = a 及 a + (b + 1) = (a + b) + 1 遞歸定義而成。因而得出可置換么半群 (N, +)， 是由 1 生出的自由么半群，其中么元為 0。此么半群服從cancellation law，可嵌入一群內：最小的是整數群。 同理，自然數乘法 * 可經 a * 0 = 0 及 a * (b + 1) = ab + a 得出。而 (N, *) 亦是可置換么半群; * 和 + 服從分配律： a * (b + c) = ab + ac。 我們說 a ≤ b 當且謹當有自然數 c 使得 a + c = b。(N,≤)是一個良序集,即每個非空子集都有一個最小的自然數。此序亦與加法及乘法兼容，即若 a， b 和 c 皆自然數且 a ≤ b，則 a + c ≤ b + c 及 ac ≤ bc。 給出兩個自然數 a 和 b 而 b ≠ 0，可找到唯一兩個自然數 q 及 r (r < b) 使得 a = bq + r q 稱為 商數 而 r 稱為 余數。 若 r=0 則 a 可被 b 除盡，記 a|b。 相關慨念有可除性，輾轉相除，質數及其他數論慨念。 [編輯]推廣自然數有兩種推廣： 序數用作排列，而基數用于判定集合的大小。對于有限序列或有限集合，序數及基數皆與自然數同。 取自" "。

熱心網友

是！現在的自然數包括0。

熱心網友

有這么回事，好像是前幾年的事。原來最小的自然數是“1”，現在就變成“0”啦。在小學四、五年紀學到整數、正整數、零、小數等概念時，給輔導帶來不少麻煩。