1. 已知A,B∈[0,1].求證 :[A/(1+B)]+[B/(1+A)]+(1-A)×(1-B)≤1.

熱心網友

證明：∵[A/(1+B)]+[B/(1+A)]+(1-A)×(1-B)-1 ∴(A^2+B^2+A+B)/(1+B)(1+A)+(1-A)×(1-B)-1 =(A^2+B^2+A+B)/(1+B)(1+A)+[(AB)^2+1-A^2-B^2]/(1+B)(1+A) -(1+A+B+AB)/(1+B)(1+A) =[A^2+B^2+A+B+(AB)^2+1-A^2-B^2-1-A-B-AB]/(1+B)(1+A) =[AB(AB-1)]/(1+B)(1+A) 又∵A,B∈[0,1] ∴1≥AB≥0，0≥AB-1≥-1，(1+B)(1+A)＞0 ∴[AB(AB-1)]/(1+B)(1+A)≤0 即[A/(1+B)]+[B/(1+A)]+(1-A)×(1-B)-1≤0 ∴[A/(1+B)]+[B/(1+A)]+(1-A)×(1-B)≤1。

熱心網友

AB≤1==A/(1+A)≤1/(1+B)==1≤1/(1+A)+1/(1+B)==AB≤AB/(1+A)+AB/(1+B)==B-B/(1+A)+A-A/(1+B)===[A/(1+B)]+[B/(1+A)]+(1-A-B+AB)≤1==[A/(1+B)]+[B/(1+A)]+(1-A)×(1-B)≤1.

熱心網友

暈，這么難