設x,y∈Ｒ，向量i和向量j為平面內x,y軸正方向上的單位向量，若向量a＝x*向量i+(y+2)*向量j,向量b=x*向量i+(y-2)向量j,且|a|+|b|=8(向量a的模加向量b的模等于８）（１）求點Ｍ（x,y)的軌跡C的方程．（２）過點（０,３）作直線l與曲線C交于A,B兩點,設向量OP=向量OA+向量OB,問是否存在這樣的直線l使四邊形OAPB是矩形?若存在,求出直線方程;若不存在,說明理由.　　小弟在此,重點求教第二個問題

熱心網友

(1)。因為|a|+|b|=8　，所以√[x^2+(y+2)^2]+√[x^2+(y-2)^2]=8設C(0,-2)、D(0,2) ,所以 MC + MD　=　8所以M點的軌跡方程為：y^2/16 + x^2/12 = 1(2)。因為向量OP=向量OA+向量OB　所以四邊形OAPB是平行四邊形設直線L為y=kx+3,代入y^2/16 + x^2/12 = 1中(3k^2+4)*x^2 +18kx -21=0 ,所以 x1+x2=-18k/(3k^2+4) ,x1*x2=-21/(3k^2+4)由于x1*x2 + y1*y2 =0 ,所以x1*x2+(kx1+3)(kx2+3)=0 ,即(k^2+1)*x1*x2 +3k(x1+x2)+9=0所以 -21*(k^2+1)-3k*18k +9*(3k^2+4)=0解得：k=±√5/4 ,所以存在直線L：y=±(√5/4)*x + 3 ,使四邊形OAPB是矩形　。