已知函數Ｆ（ｘ）＝［（Ｘ/Ｍ）－１］＾２?。郏ǎ?Ｘ）?。保荩蓿病〉亩x域為［Ｍ，Ｎ］，且１≤ Ｍ＜Ｎ≤ ２． 求１．討論函數Ｆ（Ｘ）的單調性． ?。玻C明；對于任意的實數Ｘ１，Ｘ２屬于［Ｍ，Ｎ］，不等試｜Ｆ（Ｘ１）－Ｆ（Ｘ２）｜＜１恒成立． 請詳細解答！！

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已知函數Ｆ（ｘ）＝［（Ｘ/Ｍ）－１］＾２　＋［（Ｎ/Ｘ）?。保荩蓿病〉亩x域為［Ｍ，Ｎ］，且１≤ Ｍ＜Ｎ≤ ２． 求１．討論函數Ｆ（Ｘ）的單調性． 解:F(x)=[(x/m)-1]^+[(n/x)-1]^=[(x/m)^+(n/x)^]-2[(x/m)+(n/x)]+2=[(x/m)+(n/x)]^-2n/m-[2(x/m)+(n/x)]+2=[(x/m)+(n/x)-1]^-2(n/m)+1∵(x/m)+(n/x)≥2√(n/m)21∴只需研究(x/m)+(n/x)的單調性。上面已經提到了(x/m)+(n/x)≥2√(n/m)當(x/m)=(n/x)即:x=√(mn)時上面不等式等號成立。也就是說當x=√(mn)時(x/m)+(n/x)取最小值?！喈攛∈[m,√(mn)]時;任取兩點x1,x2。使m≤x10∴當x∈[m,√(mn)]時(x/m)+(n/x)是單調遞減的?！郌(x)在x∈[m,√(mn)]時也是單調遞減的;同理得:當x∈[√(mn),n]時,F(x)是單調遞增的。２．證明；對于任意的實數Ｘ１，Ｘ２屬于［Ｍ，Ｎ］，不等試｜Ｆ（Ｘ１）－Ｆ（Ｘ２）｜＜１恒成立．∵F(x)=[(x/m)-1]^+[(n/x)-1]可得:F(m)=F(n)=[(n/m)-1]^∴F(x)最大植為:F(m)=F(n)=[(n/m)-1]^∴F(x)最小植為:F(√(mn))=2[(√(n/m)-1]^x1,x2∈［Ｍ，Ｎ］，且１≤ Ｍ＜Ｎ≤ ２∵∣F(x1)-F(x2)∣≤F(x)最大植-F(x)最小植=[(n/m)-1]^-2[(√(n/m)-1]^0。顯然∣F(x1)-F(x2)∣<1成立]。

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