1、用解析法證明三角形重心到三頂點距離平方之和是三角形所在平面上一點到三頂點距離平方和的最小值。2、求y=(x^2+2x=2)^1/2+(x^2-4x+8)^1/2的最小值。

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1、用解析法證明三角形重心到三頂點距離平方之和是三角形所在平面上一點到三頂點距離平方和的最小值。設A(m,n) 、B（-p,0)、C(p,0) ,任一點為Q（x,y) ,重心為G(m/3 ,n/3)因為(QA)^2+(QB)^2+(QC)^2 =(x-m)^2+(y-n)^2 +(x+p)^2+(x-p)^2 + 2y^2＝3x^2 - 2mx +3y^2 -2ny +m^2+n^2+2p^2＝3(x- m/3)^2 + 3(y- n/3)^2 + (2/3)m^2 + (2/3)n^2 +2P^2≥(2/3)m^2 + (2/3)n^2 +2P^2所以(QA)^2+(AB)^2+(AC)^2 的最小值為：(2/3)m^2 + (2/3)n^2 +2P^2因為（GA)^2 +(GB)^2 +(GC)^2= (2/3)m^2 + (2/3)n^2 +2P^2所以原命題成立　2、求y=√(x^2+2x＋2)+√(x^2-4x+8)的最小值。 設A(-1,-1) ,B(2,2) ,P(x,0)則y= PA+PB ,即在X軸上求一點P使PA＋PB最小由于A、B在X軸的異側，所以直線AB與X軸的交點即是P點，此時y=AB因為直線AB為：y = x所以AB與X軸的交點為：P(0,0)時，y=AB=3√2。

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1)設△ABC:A(0,0);B(a,0);C(b,c),則其重心是M((a+b)/3,c/3)S=MA^2+MB^2+MC^2=(x^2+y^2)+[(x-a)^2+y^2]+[(x-b)^2+(y-c)^2]=3x^2-2(a+b)x+3y^2-2cy+a^2+b^2+c^2=3[x^2-2x(a+b)/3+(a+b)^2/9]+3[y^2-2yc/3+c^2/9]+a^2+b^2+c^2-(a+b)^2/3-c^2/3=3[x-(a+b)/3]^2+3(y-c/3)^2+2(a^2+b^2+c^2-ab)/3顯然，當僅當x=(a+b)/3,y=c/3時，此平方和S有最小值2/3*(a^2+b^2+c^2-ab)對照題設可以知道重心到三個頂點的距離的平方和最小。2）y=√(x^2+2x+2)+√(x^2-4x+8)=√[(x-1)^2+1]+√(x-2)^2+4=√[(x-1)^2+(0-1)^2]+√[(x-2)^2+(0+2)^2]從最后的函數式看，此函數可以看作是由橫軸上的動點P(x,0)到二定點A(1,1)，B(2,-2)的距離之和的最小值。在“△”PAB中必定有|PA|+|PB|=|AB|,當僅當點P落在線段AB上時“=”成立。由于點A、B在x軸的兩側，這件事實必定發生。---y=|AB|=√[2-1)^2+（-2-1)^2]=√10附注：1，A、B的坐標的選擇在計算前已做安排。2，點P的坐標可以由直線AB及x軸的方程計算得到。。