已知a,b為不等正數,且a^3-b^3=a^2-b^2.求證1＜a+b＜4/3答案+過程=滿意^O^

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因為a^3-b^3=a^2-b^2所以(a-b)(a^2+ab+b^2)=(a+b)(a-b)又因為a,b為不等正數,所以)(a-b)≠0，(a+b)＞0，ab＞0，所以a^2+ab+b^2=a+b配方得(a+b)^2-ab=a+bab=(a+b)^2-(a+b)＞0，所以a+b＞1又由基本不等式a+b＞2√ab有ab＜(a+b)^2/4所以ab=(a+b)^2-(a+b)＜(a+b)^2/4，因為(a+b)＞0，所以3(a+b)/4＜1，即a+b＜4/3故1＜a+b＜4/3

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證明：由 a^3 - b^3＝a^2 - b^2 即 (a + b)(a^2 + ab + b^2)＝(a+b)(a-b)，所以 a^2 + ab + b^2 ＝a+b -----------------(1)先證明 1＜a+b （反證法）：因 a＞0, b＞0, 故 ab＞0, a+b＞0，若 a+b≤1, 則 (a + b)^2≤a+b，于是 a^2 + ab + b^2 ＝(a + b)^2 - ab≤a+b-ab＜a+b, 與 (1) 式矛盾！所以 1＜a+b ------------------(2)再證明 a+b＜4/3 （根據 ab＜[(a+b)/2]^2，因為 a≠b，所以不取等號）：由(1)式得 a^2 + ab + b^2＝(a + b)^2 - ab＝a+b --------------------(3),設 a+b＝t, 據(3)式有 t^2-t＝ab＜[(a+b)/2]^2＝t^2/4, 即 t^2 - t＜t^2/4，解得 0＜t＜4/3, 就是 0＜a+b＜4/3 -----------------------------(4)綜合(2)(4)，可證明結論：1＜a+b＜4/3 。證畢。。