證明：若整數Ｎ與１０互質，則Ｎ的１０１次方的末三位數必定與原三位數的末三位數字相同．

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1。記φ（n）為0，1，2，。。，n-1中和n互質的數的個數，φ（8）=4，φ（125）=100，2。記（a，b）為a，b的最大公約數。（Ｎ，10）=1==》（Ｎ，8）=（Ｎ，125）=1。3。記a≡b（m），a，b被m除的余數相等。歐拉定理：（a，m）=1==》a^[φ（m）]≡1（m）.==Ｎ^4≡1（8）==Ｎ^100≡1（8）,Ｎ^100≡1（125）==Ｎ^100≡1(1000)==Ｎ^101≡N(1000)==Ｎ^101=N+1000*k==則Ｎ的１０１次方的末三位數必定與原三位數的末三位數字相同．