1*1+2*2+3*3+4*4+5*5+。。。。。。+n*n=?

熱心網友

1×1＋2×2＋3×3＋……＋n×n=n(n＋1)(2n＋1)/6來歷是:用完全立方公式和等差數列求和公式推導因為:(n＋1)^3=n^3+3n^2+3n+1在這個等式中,讓依次取從1開始的n個連續的自然數,就得到n個相對應的等式,2^3=1^3+3×1^2+3×1+13^3=2^3+3×2^2+3×2+14^3=3^3+3×3^2+3×3+1………………(n+1)^3=n^3+3n^2+3n+1將這個等式中等號兩邊的式子分別加起來,劃去等號兩邊相同的數,就得到,(n+1)^3=1+3(1^2+2^2+3^2+……+n^2)+3(1+2+3+……+n)+n第二個括號內的和就是一個等差數列,和為n(1+n)÷2,于是(n+1)^3=1+3(1^2+2^2+3^2+……+n^2)+3n(n+1)÷2+n所以, 3(1^2+2^2+3^2+……+n^2)= (n+1)^3－3n(n+1)÷2－(n+1) =n^3+3n^2+3n+1－3n^2/2－3n/2－n－1 =n^3+3/2n^2+n/2所以, 1^2+2^2+3^2+……+n^2=1/3(n^3+3n^2/2+n/2) =n(n+1)(2n+1)/6這個公式的用途很大,除了用于計算連續自然數的平方和外,在初高中的代數恒等變形中有著很大的作用。。

熱心網友

(k+1)^3-k^3=3*k^2+3*k+1，用k=1，2，…，n代入得到n個等式：2^3-1^3=3*1^2+3*1+13^3-2^3=3*2^2+3*2+14^3-3^3=3*3^2+3*3+1…………(n+1)^3-n^3=3*n^2+3*n+1將這n個等式兩邊相加，得到(n+1)^3-1=3*(1^2+2^2+3^2+…+n^2)+3*(1+2+3+…+n)+n=3*(1^2+2^2+3^2+…+n^2)+3*n*(n+1)/2+n由此解得：1^2+2^2+3^2+…+n^2=[(n+1)^3-1-3*n*(n+1)/2-n]/3=n(n+1)(2n+1)/6。這個公式的應用很多，無法詳說了。