什么是混沌數學？請高手提供詳細闡述!謝謝
熱心網友
我摘自業余“數學天地”“ 【混沌的理論】 要弄明白不可預言性如何可以與確定論相調和，可以來看看 一個比整個宇宙次要得多的系統——水龍頭滴下的水滴。這是一 個確定性系統，原則上流入水龍頭中的水的流量是平穩、均勻的， 水流出時發生的情況完全由流體運動定律規定。但一個簡單而有效的實驗證明，這一顯然確定性的系統可以產生不可預言的行為。 這使我們產生某種數學的“橫向思維”，它向我們解釋了為什么此種怪事是可能的。 假如你很小心地打開水龍頭，等上幾秒鐘，待流速穩定下來， 通常會產生一系列規則的水滴，這些水滴以規則的節律、相同的時 間間隔落下。很難找到比這更可預言的東西了。但假如你緩緩打 開水龍頭，使水流量增大，并調節水龍頭，使一連串水滴以很不規則的方式滴落，這種滴落方式似乎是隨機的。只要做幾次實驗就會 成功。實驗時均勻地轉動水龍頭，別把龍頭開大到讓水成了不間斷 的水流，你需要的是中速滴流。如果你調節得合適，就可以在好多 分鐘內聽不出任何明顯的模式出現。 1978年，加利福尼亞大學圣克魯斯分校的一群年青的研究生 組成了一個研究動力學系統的小組。他們開始考慮水滴系統的時 候，就認識到它并不像表現出來的那樣毫無規則。他們用話筒記錄 水滴的聲音，分析每一滴水與下一滴水之間的間隔序列。他們所發 現的是短期的可預言性。要是我告訴你3個相繼水滴的滴落時刻， 你會預言下一滴水何時落下。例如，假如水滴之間最近3個間隔是 0。63秒、1。17秒和0。44秒，則你可以肯定下一滴水將在0。82秒 后落下(這些數只是為了便于說明問題)。事實上，如果你精確地知 道頭3滴水的滴落時刻，你就可以預言系統的全部未來。 那么，拉普拉斯為什么錯了? 問題在于，我們永遠不能精確地測量系統的初始狀態。我們在任何物理系統中所作出的最精確的 測量，對大約10位或12位小數來說是正確的。但拉普拉斯的陳述 只有在我們使測量達到無限精度(即無限多位小數，當然那是辦不 到的)時才正確。在拉普拉斯時代，人們就已知道這一測量誤差問 題，但一般認為，只要作出初始測量， 比如小數點后10位，所有相 繼的預言也將精確到小數點后10位。誤差既不消失，也不放大。 不幸的是，誤差確實放大，這使我們不能把一系列短期預言串 在一起，得到一個長期有效的預言。例如，假設我知道精確到小數 點后10位的頭3滴水的滴落時刻，那么我可以精確到小數點后9 位預言下一滴的滴落時刻，再下一滴精確到8位，以此類推。誤差 在每一步將近放大10倍，于是我對進一步的小數位喪失信心。所 以，向未來走10步，我對下一滴水的滴落時刻就一無所知了。(精 確的位數可能不同：它可能使每6滴水失去1位小數的精度，但只 要取60滴，同樣的問題又會出現。) 這種誤差放大是使拉普拉斯完全確定論破滅的邏輯缺陷。要 完善整個測量根本做不到。假如我們能測量滴落時刻到小數點后 100位，我們的預言到將來100滴(或用較為樂觀的估計，600滴) 時將失敗。這種現象叫“對初始條件的敏感性”，或更非正式地叫 “蝴蝶效應”(當東京的一只蝴蝶振翅時，可能導致一個月后佛羅里 達的一場颶風)。它與行為的高度不規則性密切相關。任何真正規 則的東西，據定義都是完全可預言的。但對初始條件的敏感性卻使 行為不可預言—從而不規則。因此，呈現對初始條件敏感性的系 統被稱為混沌系統。混沌行為滿足確定性的定律，但它又如此不規 則，以至在未受過訓練的眼睛看來顯得雜亂無章。混沌不僅僅是復 雜的、無模式的行為，它要微妙得多。混沌是貌似復雜的、貌似無模 式的行為，它實際上具有簡單的、確定性的解釋。 混沌的發現是由許多人(多得在此無法一一列舉)作出的。它 的出現，是由3個相互獨立的進展匯合而成的。第一個是科學注重 點的變化，從簡單模式(如重復的循環)趨向更復雜的模式。第二個 是計算機，它使得我們能夠容易和迅速地找到動力學方程的近似 解。第三個是關于動力學的數學新觀點— 幾何觀點而非數值觀 點。第一個進展提供了動力，第二個進展提供了技術，第三個進展 則提供了認識。 動力學的幾何化發端于大約100年前。法國數學家昂利·龐 加萊(Henri Poincare)是一個獨立獨行的人(如果有的話)，但他非 常杰出，以致他的許多觀點幾乎一夜之間就成了正統的觀點，當時 他發明了相空間概念，這是一個虛構的數學空間，表示給定動力學 系統所有可能的運動。為了舉一個非力學的例子，讓我們來考慮獵 食生態系統的群體動力學。此系統中捕食者是豬，被捕食者是塊菌 (一種味道奇特、辛辣的真菌)。我們關注的變量是兩個群體的規模 ——豬的數目和塊菌的數目(兩者都相對于某個參考值，如100 萬)。這一選擇實際上使得兩個變量連續，即取帶小數位的實數值， 而不取整數值。例如，假如豬的參考數目是100萬，則17439頭豬 相當于值0。017439。現在，塊菌的自然增長依賴于有多少塊菌以及 豬吃塊菌的速率：豬的增長依賴于豬的頭數以及豬吃的塊菌數目。 于是每個變量的變化率都依賴于這兩個變量，我們可把注意力轉 向群體動力學的微分方程組。我不把方程列出來，因為在這里關鍵 不是方程，而是你用方程干什么。 這些方程原則上確定任何初始群體值將如何隨時間而變化。 例如，假使我們從17439頭豬和788444株塊菌開始，則你對豬變 量引入初始值0。017439，對塊菌變量引入初始值0。788444，方程 會含蓄地告訴你這些數將如何變化。困難的是使這種含蓄變得清 晰：求解方程。但在什么意義上求解方程呢? 經典數學家的自然反 應是尋找一個公式，這個公式精確地告訴我們豬頭數和塊菌株數 在任何時刻將是多少。不幸的是，此種“顯式解”太罕見，幾乎不值 得費力去尋找它們，除非方程具有很特殊的、受限制的形式。另一 個辦法是在計算機上求近似解，但那只能告訴我們這些特定韌始 值將發生什么變化，以及我們最想知道的許多不同的初始值將發 生什么變化。 龐加萊的思想是畫一幅圖，這幅圖顯示所有初始值所發生的 情況。系統的狀態--在某一時刻兩個群體的規模——可以表示 成平面上的點，用坐標的方法即可表示。例如，我們可能用橫坐標 代表豬頭數，用縱坐標代表塊菌株數。上述初始狀態對應于橫坐標 是0。017439、縱坐標是0。788444的點。現在讓時間流逝。坐標按 照微分方程表達的規則從一個時刻變到下一個時刻，于是對應點 運動。依動點劃出一條曲線；那條曲線是整個系統未來狀態的直觀 表述。事實上，通過觀察這條曲線，不用搞清楚坐標的實際數值，你 就可以“看出”重要的動力學特征。 例如，如果這曲線閉合成環，則兩個群體遵從周期性循環，不 斷重復同樣一些值 就像跑道上的賽車每一圈都經過同一個旁 觀者那樣。假如曲線趨近某個特定點并停在那，則群體穩定到一個 定態，它們在此都不發生變化——就像耗盡了燃料的賽車。由于幸 運的巧合，循環和定態具有重要的生態意義—特別是，它們給群 體規模設置了上限和下限。所以肉眼最易看出的這些特征確實是 實際事物的特征。并且，許多不相關的細節可以被忽略——例如， 不必描述其精確形狀，我們就可以看出存在一種閉合環(它代表兩 個群體循環的合成“波形”)。 假如我們試一試一對不同的初始值，那將會發生什么情況? 我 們得到第二條曲線。每一對初始值定義一條新曲線。通過畫出一 整族的此種曲線，我們可以抓住所有初始值之下系統所有可能的 行為。這族曲線類似于圍繞平面盤旋的一種虛擬數學流體的流線。 我們稱此平面為系統的相空間，那族盤旋曲線是系統的相圖。取代 具有各種初始條件的以符號為基礎的微分方程概念，我們有了流 經豬塊菌空間的點的直觀幾何圖象。這僅在其許多點是潛在點而 非實際點而有別于普通平面：它們的坐標對應于在適當初始條件 下可能出現，但在特定情況下可能不會出現的豬頭數和塊菌株數。 所以，除了從符號到幾何的心理轉移，還存在從實際向潛在的哲理 性的轉移。 對于任何動力學系統，都可以設想同一種類型的幾何圖象。有 相空間，其坐標是所有變量的值；有相圖，即一族表示從所有可能 的初始條件出發的所有可能行為的盤旋曲線，這些曲線為微分方 程所刻劃。這一思想是一大進展，因為我們無需關心微分方程解的 精確數值，而可以把注意力集中于相圖的寬廣范圍，使人發揮其最 大優勢(即驚人的圖象處理能力)。作為把全部潛在行為編織起來 的一種方式(自然界從中選擇實際觀察到的行為)的相空間圖，在 科學中已被廣為應用。 龐加萊這一大創新所帶來的結果，是動力學可借助被稱為吸 引子(attractor)的幾何形狀來加以直觀化。假如你使一動力學系 統從某個初始點出發，觀察它長期運作的情況，你往往會發現，它 最終圍繞相空間中某個明確的形狀游蕩。例如，曲線可以向一個閉 合環旋進，然后繞環永遠兜圈子。而且，初始條件的不同選擇會導 致相同的終末形狀。倘若如此，那形狀就叫做吸引子。系統長期的 動力學特性受其吸引子支配，吸引子的形狀決定產生何種類型的 動力學特性。 例如，趨向于定態的系統，它具有的吸引子是一個點。趨向于 周期性地重復同樣行為的系統，它具有的吸引子是一個閉環。也就 是說，閉環吸引子相當于振蕩器。請回憶一下第五章有關振動的小 提琴弦的描述：小提琴弦經歷一系列最終使它回歸到出發點的運 動，并將一遍又一遍重復那個系列。我的意思不是小提琴弦以物理 環運動，但我對它的描述是隱喻意義上的閉環：運動經過相空間的 動態地形而環游。 混沌有其自身頗為古怪的幾何學意義，它與被稱為奇異吸引 子的離奇分形形狀相聯系。蝴蝶效應表明，奇異吸引子上的詳細運 動不可預先確定，但這并末改變它是吸引子這個事實。設想一下如 果把一個 古 球拋進波 洶涌的大海，無論你從空中向下丟球，還 是從水下讓球向上浮，球都會向海面運動。一旦到了海面之后，它 就在起伏的波浪中經歷一個很復雜的運動路徑，但不管這路徑多 么復雜，球仍然留在海面上或至少很接近海面。在這一圖景里，海 面是吸引子。因此，盡管有混沌，不論出發點可能是什么，系統最終 將很接近它的吸引子。 混沌作為一種數學現象已得到充分證實，但在現實世界里我 們如何檢測它呢? 我們必須完成一些實驗，但這存在一個問題。實 驗在科學中的傳統作用是檢驗理論預言，但要是蝴蝶效應在起作 用—正像它對任何混沌系統所做的那樣——我們怎么能期望去 檢驗一個預言? 莫非混沌天生不可檢驗，從而是不科學的? 回答是，“不”! 因為“預言”這個詞有兩個含義。一是指“預卜 未來”。當混沌出現時，蝴蝶效應阻礙預卜未來。但另一個含義是 “預先描述實驗結果將是什么”。讓我們來考慮一下如果擲100次 硬幣的例子。為了預言— 在算命先生的意義上預卜— 會發生 什么情況，你必須預先列出每一次拋擲的結果。但你可以作出科學 的預言，如“大約一半硬幣將正面朝上”，而不必具體地預卜未來 ——甚至預言時，這系統仍然是隨機的。沒有人會因為統計學處理 不可預言的事件而認為它不科學，因此亦座以同樣態度來對待混沌。 你可以作出各種各樣的關于混沌系統的預言。事實上，你可以 作出充足的預言把確定性混沌與真正的隨機性區分開。你能常常 預言的一件事是吸引子的形狀，它不受蝴蝶效應的影響。蝴蝶效應 所做的一切，是使系統遵從同一吸引子上的不同軌線。總之，吸引 子的一般形狀往往可從實驗觀測中得到。 混噸的發現揭示了我們對規律與由此產生的行為之間——即 原因與結果之間——關系的一個基本性的錯誤認識。我們過去認 為，確定性的原因必定產生規則的結果，但現在我們知道了，它們 可以產生易被誤解為隨機性的極不規則的結果。我們過去認為，簡 單的原因必定產生簡單的結果(這意昧著復雜的結果必然有復雜 的原因)，但現在我們知道了，簡單的原因可以產生復雜的結果。我 們認識到，知道這些規律不等于能夠預言未來的行為。 原因和結果之間的這種脫節是怎么出現的? 為什么相同的一 些規律有時候產生明顯的模式，有時候卻產生混油? 答案可以在家 家戶戶的廚房里，就在打蛋器那樣簡單的機械裝置中找到。兩條打 蛋臂的運動簡單又可預言：每條打蛋臂都平穩地旋轉。然而，裝置 里的糖和蛋白的運動則復雜得多。糖和蛋白在打蛋臂的作用下得 到混合，那正是打蛋器要達到的目的，但那兩條旋轉的打蛋臂并未 絞在一起。當你打完蛋后，不必把打蛋臂解開。為什么調合蛋白的 運動如此不同于打蛋臂的運動? 混合是一個遠比我們想象的復雜 得多的動態過程。設想一下，試圖預言一顆特定的糖粒最終將在何 處是何等艱難! 當混合物在那對打蛋臂之間通過時，它被向左右兩 邊扯開。兩顆起初緊靠在一起的糖粒不久分得很開，各走各的道。 事實上，這正是蝴蝶效應在起作用。初始條件中的微小變化有 著巨大的影響。因此，混合是一個混沌過程。 反之，每一個混沌過程都包含一種在龐加萊虛擬相空間中的 數學混合。這就是潮汐可預言、而天氣不可預言的原因。兩者包含 同一種類型的數學，但潮汐的動力學不在相空間混合，而天氣的動 力學則在相空間混合。 科學在傳統上看重秩序，但我們正開始認識到混沌能給科學 帶來獨特的好處。混沌更容易對外部刺激作出快速反應。設想一 下等待接發球的網球運動員。他們站著不動嗎? 他們有規則地從 一邊移向另一邊嗎? 當然不。他們雙腳零亂地蹦跳。部分原因在 于擾亂其對手；但同時也準備對任何發過來的球作出反應。為了能 夠向任何特定方向快速運動，他們在許多不同方向上作出快速運 動。混沌系統與非混沌系統相比較，前者輕而易舉地就能非常快地 對外部事件作出反應。這對工程控制問題來說很重要。例如，我們 現在知道某類湍流由混沌造成— 混沌正是使湍流混亂不堪的元 兇。我們也許可以證明，通過建立對破壞任何小區域的原發湍流作 出極快反應的控制機制，使擦過飛機表面的氣流不致太湍亂，從而 減小運動阻力，這種情況是可能的。活的生物為了對變化的環境作 出快速反應，也必須呈現混沌行為。 這一思想已被一群數學家和物理學家，其中包括威廉·迪托 (William Ditto)、艾倫·加芬科(Alan Garfinkel)和吉姆·約克 (Jim Yorke)，變成了一項非常有用的實用技術，他們稱之為混沌 控制。實質上，這一思想就是使蝴蝶效應為你所用。初始條件的小 變化產生隨后行為的大變化，這可以是一個優點；你必須做的一 切，是確保得到你想要的大變化。對混沌動力學如何運作的認識， 使我們有可能設計出能完全實現這一要求的控制方案。這個方法 已取得若干成功。混沌控制的最早成就之一，是僅用衛星上遺留的 極少量肼使一顆“死”衛星改變軌道，而與一顆小行星相碰撞。美國 國家航空與航天管理局操縱這顆衛星圍繞月球旋轉5圈，每一圈 用射出的少許肼將衛星輕推一下，最后實現碰撞。 這一數學思想已被用來控制湍亂流體中的一條磁性條帶—— 控制流經潛水艇或飛機的湍流的一個原型；控制使胡亂跳動的心 臟恢復有規則的節律，這預示著智能起搏器的發明；用來建立和防 止腦組織中電活動的節律波，這又開辟了預防癲癇發作的新途徑。 混沌已是一個迅速發展的行業。每一個星期都有有關混沌的 數學基礎的新發現、混沌對我們認識自然界的新應用，或有關應用 混噸產生的新技術的報導，包括混沌洗碟機(日本人發明用兩條混沌 旋轉的轉臂使碟子潔凈的節能機器)和英國人發明的用混沌理 論進行數據分析從而改進礦泉水生產中的質量管理的機器。 然而，還有更多的東西有待研究。或許混沌最終懸而末決的問 題是奇異的量子世界，幸運女神主宰那里的一切。放射性原子“隨 機地”衰變，它們唯一的規律是統計規律。大量放射性原子雖有明 確的“半衰期” 一段半數原子將衰變的時間，但我們不能預言 哪一半原子即將衰變。前面提到的愛因斯坦的斷言，就是針對這一 問題的。在將不衰變的放射性原子與將要衰變的放射性原子之間， 確實根本不存在任何差別嗎? 原子怎么知道該干什么? 量子力學的表觀隨機性可能騙人嗎? 它確實是確定性混沌嗎? 設想原于是宇宙流體的某種振動液滴。放射性原子很有力地振動， 并且較小的液滴時常會分裂——衰變。這振動快得我們無法對它 們進行細致測量，我們只能測量平均量(如能級)。現在，經典力學 告訴我們，一滴真實流體會混油地振動。當它振動時，其運動是確 定性的，但不可預言。許多振動不約而同“隨意地”分裂微小的液 滴。蝴蝶效應使得不可能預言何時液滴將分裂，但這事件具有精確 的統計特征，包括明確的“半衰期”。 放射性原子表觀隨機衰變可能是某種在微觀尺度上的類似 物? 為什么終歸存在統計規律? 統計規律是內在確定性的外顯，抑 或會來自別的什么地方? 遺憾的是，尚沒有人使這誘人的思想產生 結果——盡管它在精神上類似于時髦的超弦理論，在超弦理論中， 亞原于粒子是一種人為的振動著的多維環。在這里主要的類似特 征是，振動環與振動液滴都將新的“內部變量”引入其物理學圖景 中，而顯著的區別在于它們處理量子不確定性的方式。超弦理論同 傳統量子力學一樣，把這種不確定性視為真正的隨機。然而，在一 個像液滴這樣的系統里，表觀不確定性實際上是由確定性的(但是 混沌的)原動力所產生。訣竅——如果只有我們知道如何來操作的 話— 也許在于：發明某種維持超弦理論成功特征的結構，同時造 就幾個行為混沌的內部變量。它可能是使上帝的骰子變得確定，并 使愛因斯坦在天之靈欣慰的一條動人途徑。 重要的不在于你做什么，而在于你如何來做。 混沌正在顛覆我們關于世界如何運作的舒適假定。一方面混 沌告訴我們，宇宙遠比我們想得要怪異。混沌使許多傳統的科學方 法受到懷疑，僅僅知道自然界的定律不再足夠了。另一方面，混沌 還告訴我們，我們過去認為是無規則的某些事物實際上可能是簡 單規律的結果。自然之混噸也受規律約束。過去，科學往往忽視貌 似無規則的事件或現象，理由是，既然它們根本沒有任何明顯的模 式，所以不受簡單規律的支配。事實并非如此。恰好在我們鼻子底 下就有簡單規律——支配疾病流行、心臟病發作或蝗災的規律。如 果我們認識了這些規律，我們就有可能制止隨之而來的災難。 混沌已經向我們顯示了新的規律，甚至是新型的規律。混沌自 有一類新的普適模式。最初被發現的模式之一存在于滴水水龍頭 里。可能我們還記得水龍頭可以有節律地或雜亂地滴水，這取決于 水流的速度。實際上，有規則滴水的水龍頭與“無規則”滴水的水龍 頭都是同一數學處方的略微不同的變體。但隨著水流經過水龍頭 的速率的增加，動力學特性的類型發生變化。代表動力學特性的相 空間中的吸引子在不斷地變化— 它以一種可預言的、但極復雜 的方式在發生變化。 有規則滴水的水龍頭有一個反復滴一滴一滴一滴的節律，每 一滴都與前一滴相同。然后略微旋開水龍頭，水滴略快。現在節律 變成滴一滴一滴一滴，每2滴就重復一次。不僅水滴的大小(它決 定水滴聽上去有多響)，而且從這一滴到下一滴的滴落時刻，都略 有變化。 假如你讓水流得再快一些，得到4滴節律，水滴再快一點，產 生8滴節律。水滴重復序列的長度不斷加倍。在數學模型里，這一 過程無限繼續下去，具有16，32，64等水滴的節律群。但產生每次 相繼周期倍化的流速變得愈來愈細微；并存在一個節律群大小在 此無限頻繁加倍的流速。此時此刻，沒有任何水滴序列完全重復同 一模式。這就是混沌。 我們可以用龐加萊的幾何語言來表達所發生的情形。對于水 龍頭，吸引子起初是閉環，表示周期循環。設想這環是圍繞你手指 的一根橡皮筋。當流速增大時，這環分裂成2個相鄰的環，就像橡 皮筋在手指上繞了2圈。于是橡皮筋2倍于原長度，所以周期加 倍。然后這已經加倍的環又沿其長度完全以同樣方式加倍，產生周 期4循環，以此類推。在無窮多次加倍之后，你的手指被細面條似 的橡皮筋纏繞，即混沌吸引子。 這種混沌創生方案叫周期倍化級聯。1975年，物理學家米切爾·費根鮑姆(Mitchell Feigenbaum)發現，一個可用實驗加以測 量的特殊數與每個周期倍化級聯相聯系。這個數大約是4。669，它 與π并列成為似乎在數學及其與自然界的關系中都有非同尋常意 義的離奇數之一。費根鮑姆數也有一個符號：希臘宇母δ。數π告 訴我們圓周長如何與圓的直徑相關。類似地，費根鮑姆數δ告訴我 們水滴周期如何與水的流速相關。準確地說，你必須通過這個額外 量旋開水龍頭，在每次周期倍化時減小 l/4。669。 π是與圓有關的任何東西的一個定量特征。同理，費根鮑姆數 δ是任何周期倍化級聯的定量特征，不管級聯是如何產生的或如 何用實驗得出的。這同一個數在關于液氨、水、電路、擺、磁體以及 振動車輪的實驗中都會出現。它是自然界中一個新的普適模式，是 我們僅僅透過混沌之眼就可看到的模式，一個從定性現象產生的 定量模式，一個數。這數確實是自然之數中的一個。費根鮑姆數打 開了通往數學新世界的大門，我們才剛剛開始探索這個世界? 費根鮑姆發現的這個精確模式(和諧如此類的其他模式)是一 件杰作。其根本點在于，甚至當自然之定律的結果看上去無模式 時，定律依然存在，模式亦然。混沌不是無規，它是由精確規律產生 的貌似無規的行為。混沌是隱秘形式的秩序。 。