1，（1+i)^10+(1-i)^102,i+i^2+i^3+i^4.....+i^20023,i^k+1+i^k+2+i^k+3+i^k+4(k∈R)4,1+i^n+i^2n+i^3n(n∈Z)

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1、因為1+i=√2*e^(i*π/4),1-i=√2*e^(-i*π/4)所以(1+i)^10+(1-i)^10=2^5*[e^(i*5π/2)+e^(-i*5π/2)]=32[cos(5π/2)+i*sin(5π/2)+cos(5π/2)-i*sin(5π/2)]=02、i+i^2+i^3+i^4。。。。。+i^2002=i(1+i+i^2+…+i^2001)=i*(1-i^2002)/(1-i)=i*(1-i^2)/(1-i)=2i/(1-i)=i(1+i)=-1+i3、i^(k+1)+i^(k+2)+i^(k+3)+i^(k+4)=i^(k+1)*(1+i+i^2+i^3)=i^(k+1)*(1+i-1-i)=04、1+i^n+i^(2n)+i^(3n)=(1+i^n)[1+i^(2n)]當n為奇數時，1+i^(2n)=[1-i^(4n)]/[1-i^(2n)]=0（分子等于0），所以原式=0；當n=4k-2時，1+i^n=[1-i^(2n)]/[1-i^n]=0（分子等于0），所以原式=0；當n=4k時，i^n=i^(2n)=1,所以原式=4。。

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1,z=32cis450`+32cis(-450`)=02,i=i, i^2=-1, i^3=-i, i^4=1 i+i^2+i^3+i^4+......i^2000=0 z=i^2001+i^2002=i-13,z=i^k(1+2+3+4)=04,z=0