已知集合M={(x,y)/x^2+y^2=1},N=={(x,y)/(x/a)-(y/b)=1,a>0,b>0},當M與N的交集只有一個元素時,ab/根號下(a^2+b^2)=? (答案是1)

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當M與N的交集只有一個元素時，也就是曲線x^2+y^2=1與直線(x/a)-(y/b)=1只有一個交點.由(x/a)-(y/b)=1得y=bx/a-b.把y=bx/a-b代入x^2+y^2=1，消去y,并整理，得(a^2+b^2)x^2-2(ab^2)x+a^2(b^2-1)=0.……(1)因為曲線x^2+y^2=1與直線(x/a)-(y/b)=1只有一個交點，所以，方程（1）的判別式為[-2(ab^2)]^2-4*(a^2+b^2)*[a^2(b^2-1)]=0.化簡，得a^2+b^2=a^2*b^2.所以，ab/根號下(a^2+b^2)=ab/根號下(a^2*b^2)=ab/(ab)=1.

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當M與N的交集只有一個元素時，直線(x/a)-(y/b)=1和圓x^2+y^2=1相切，即（0，0）到{直線(x/a)-(y/b)=1}的距離為1。1=（0，0）到{直線(x/a)-(y/b)=1}的距離=1/根號下[1/（a^2）+1/（b^2）]=ab/根號下(a^2+b^2)。