求所有定義在有理數集上的實值函數f,滿足f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy

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設F（x）=f（x）-x^2,F(x+y)=f(x+y)-(x+y)^2==f(x)+f(y)-x^2-y^2=F(x)+F(y)1)F(0+0)=F(0)+F(0),==F(0)=0,n為正整數F(n)=F(1+1+。。。+1)=F(1)+F(1)+。。+F(1)=nF(1)，0=F(0)=F(n-n)=F(n)+F(-n),==F(-n)=-F(n)=-nF(1)，所以對于所有m為整數，F(m)=mF(1)。2）n為正整數，F(1)=F（1/n+1/n+。。+1/n）==F（1/n）+F（1/n）+。。+F（1/n）=nF（1/n），==》F（1/n）=F(1)/n，m，n為正整數F（m/n）=F（1/n+1/n+。。+1/n）==F（1/n）+F（1/n）+。。+F（1/n）=mF（1/n）=（m/n）*F(1)，又有F（-m/n）=-F（m/n）=-（m/n）*F(1)，所以對于所有x為有理數，F(x)=xF(1)。3）f（x）=x^2+F(x)=x^2+xF(1)=x^2+x(f(1)-1)，，F(1)為任意實數。

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令Y=1，則有：F（X+1）=F（X）+F（1）+2X即函數F（X+1）-F（X）=2X+A（A=F（1））因此得F（X）=X*X+（A-1）X （1）將（1）式代如原式中，得X*X+2Y*Y+Y*Y+（A-1）（X+Y）=X*X+（A-1）X+Y*Y+（A-1）Y+2X*Y因此符合

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因f(2x)=f(x)+f(x)+2x^2,f(3x)=f(2x+x)=f(x)+f(x)+2x^2+f(x)+2*(2x)*x=3f(x)+3*2x,...,f(nx)=nf(x)+n(n-1)f(x)，故f[n*(1/m)]=nf(1/m)+n(n-1)*(1/m)^2.....(1),將n=m代入之，得f(1)=mf(1/m)+m(m-1)/m^2,由此有f(1/m)=(1/m)f(1)+(1/m)[(1/m)-1],將它代入式(1)得f(n/m)=(n/m)f(1)+(n/m)[(n/m)-1].即當x為有理數時,f(x)=x*f(1)+x(x-1).對題目的評論：題目中未給出f(1)之值，故題目有點小毛病。