某工廠的自動生產線加工的某零件的內徑X（單位mm)服從N（u,1)，規定該零件內徑小于10mm或大于12mm時為不合格產品。已知該產零件銷售利潤Y與X有如下關系： -1，X<10Y=｛20,10<=X<=12 -5,X>12問零件的平均內徑u取什么值時，銷售一個零件的平均利潤最大？

熱心網友

這個題目應該這樣做：記F(x)是X的分布函數，Φ(x)是標準正態分布的分布函數，標準正態分布的密度函數是[e^(-xx/2)]/√(2π)則Y=(-1)*P(X12)=-F(10)+20[F(12)-F(10)]-5[1-F(12)]=25F(12)-21F(10)-5=25Φ(12-u)-21Φ(10-u)-5Y'=-25Φ'(12-u)+21Φ'(10-u)=-25[e^(-(12-u)(12-u)/2)]/√(2π)+21[e^(-(10-u)(10-u)x/2)]/√(2π)令Y'=0，得到e^(22-2u)=25/21，即22-2u=ln(25/21)解得u=11-[ln(25/21)]/2≈10.9128233這就是使Y取得最大值的u的取值。

熱心網友

按工廠實際計算,一般用查表的方法:(當然你如果常用,可編程計算.) 我們先設定u=11;平均利潤S=20*0.6826-6*0.1587=12.6998;如果把u向左移,那么X12的區域減少,而10<=X<=12的區域也減少.我們利用這些關系,用你的高等數學,解出一個極值,并求出u的值.(有興趣可以試試)而我喜歡采用查表及近似計算的方法:因隨著u的移動,S增加,到某一點時等于0,然后再減少,目標就是找出等于0的那一點.在正態分布的密度函數表上,利用與1.0對稱的兩個值x,y,使21x=25y;查出與1.0的偏差為0.09,所以u=10.91;此時S=20*0.6807-1*0.1814-5*0.1379=12.7431答:零件的平均內徑u取10.91時，銷售一個零件的平均利潤最大.