已知過原點O的一條直線與函數y=log8X的圖象交于A,B兩點,分別過A,B作y軸的平行線與函數y=log2X的圖象交于C,D兩點.證明:點C,D和原點O在同一直線上當BC平行于x軸時,求點A的坐標

熱心網友

設點A(a，log8a)，B(b，log8b)，則C(a，log2a)，D(b，log2b)根據對數的運算性質，log2a = 3(log8a)，log2b = 3(log8b)由A、B、O三點共線，得 K OA = K OB ，即 (log8a)/a = (log8b)/b 即 (log2a)/a = (log2b)/b 即 K OC = K OD 于是 O、C、D三點共線 。BC∥x軸 即 log8b = log2a 得 b = a^3從而 (log2a)/a = (log2b)/b　變成　(log2a)/a = 3(log2a)/(a^3) 得 log2a = 0 　或　 a^2 = 3 即 a = 1　或　a = √3顯然 a = 1 時，A、B、C、D四點重合，舍去所以 a = √3　 A（ √3 ，log8 √3 ）。

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好了

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設A（x1，kx1），B（x2，kx2）（x10）則kx1＝log8 x1＝（1/3）log2 x1，kx2＝（1/3）log2 x2，k（x2－x1）＝（1/3）（log2 x2－log2 x1）即（log2 x2－log2 x1）/（x2－x1）＝3k，而（log2 x1）/x1＝3k，則CD和OC的斜率相等，所以點C、D、O共線。當BC平行于x軸時，log8 x2＝log2 x1，（1/3）log2 x2＝log2 x1，x2＝x1^3，所以（log2 x1^3－log2 x1）/（x1^3－x1）＝（log2 x1）/x1＝3k解得x1＝3的算術平方根