設a,b,c是三角形ABC的三邊，求證：∠A=90度是方程x^2+2ax+b^2=0與x^2+2cx-b^2=0有公共根的充分條件。

熱心網友

如果∠A=90度, 則 a^2=b^2+c^2, 可以驗證x=-c-a 是公共根： x^2+2ax+b^2=(-c-a)^2+2a(-c-a)+b^2=c^2-a^2+b^2=0, x^2+2cx-b^2=(-c-a)^2+2c(-c-a)-b^2=-c^2+a^2-b^2=0.實際上還可證明其是必要條件： 假設兩方城有一公共根， 兩式相減， 公共根滿足 (a-c)x+b^2=0, x=-b^2/(a-c), （顯然可推出a, c 不相等）兩式相加， x(x+a+c)=0, x=0 (代回原式， 不符， 舍去） 或 -a-c所以 -b^2/(a-c)=-a-c, a^2=b^2+c^2,∠A=90度